Teoremas de Stokes e da Divergência | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

O Teorema de Stokes é, na verdade, uma generalização do Teorema de Green para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformar determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa. Já o Teorema da Divergência, ou de Gauss, expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido e uma integral de superfície sobre a fronteira desse sólido.

Ambos sendo de grande importância em aplicações físicas. O Teorema da Divergência, por exemplo, tem aplicações básicas no fluxo de fluidos, onde ele auxilia a caracterizar fontes e locais de escoamento do fluido. Já na condução de calor, ele modela a equação básica do calor e na teoria potencial esse teorema dá propriedades básicas das soluções da Equação de Laplace.

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Teoremas de Stokes e da Divergência | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral $$\iint\limits_{S} rot \vec{f} \cdot dS,$$ onde $$ \vec{f} (x,y,z) = xz \vec{i} +yz \vec{j} + xy \vec{k} $$ e S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1 e acima do plano-xy (ilustrada na figura abaixo).

SOLUÇÃO: 

2) Encontre o fluxo do campo vetorial $$ \vec{f} (x,y,z) = z \vec{i} +y \vec{j} + x \vec{k} $$ sobre a esfera unitária $$x^2 + y^2 + z^2 = 1.$$

SOLUÇÃO: 

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