Seções Cônicas: Elipse | 8 Exercícios Resolvidos com Soluções Detalhadas

Melhore sua compreensão de elipses como curvas planas geradas por seções cônicas com estes 8 exercícios resolvidos com soluções detalhadas. Perfeito para estudantes de graduação em ciências exatas e da terra.

Se você está procurando melhorar sua compreensão das elipses como curvas planas geradas por seções cônicas, você veio ao lugar certo. Neste artigo, forneceremos 8 exercícios resolvidos com soluções detalhadas para ajudá-lo a dominar esse importante conceito da geometria Analítica. Seja você um estudante de graduação em ciências exatas e da terra, esses exercícios irão ajudá-lo a aprimorar suas habilidades e aprofundar sua compreensão das elipses como seções cônicas.

O que é uma elipse como curva plana gerada por seção cônica?

Sejam duas retas e e r concorrentes em O e não perpendiculares. Conservemos fixa a reta e e façamos girar 360º em torno de e mantendo constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta r gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O .

Quando uma superfície cônica é seccionada por plano \pi qualquer que não passa pelo vértice O , a seção cônica será uma elipse se \pi for oblíquo ao eixo e , cortando apenas uma das folhas da superfície;

Um elipse com focos F e F' é o conjunto dos pontos P do plano cuja somas das distâncias a F e F' é igual uma constante denotada por 2a . É conveniente escolher um sistema de eixos tal que os os focos tenham coordenadas F(c,0) e F' (-c,0) . A distância 2c   entre os focos é chamada de distância focalda elipse.

Leia nosso artigo sobre elipses e sobre seções cônicas:

• A Elipse: Um estudo desta Curva como uma Seção Cônica
  
• Compreendendo as Seções Cônicas: Um Guia Introdutório

Seções Cônicas: Elipses – 8 Exercícios Resolvidos com Soluções Detalhadas

1) Nos problemas abaixo, para cada uma das elipses, determine:

• a medida dos semi-eixos;
• um esboço do gráfico;
• os focos;
• a excentridade;

a) 9x^2 +25y^2 = 225

SOLUÇÃO: 

Dividindo cada temos da equação por 225 , temos: $$ \frac{9x^2}{225}+ \frac{25 y^2}{225} = \frac{225}{225} $$ ou $$ \frac{x^2}{25}+ \frac{ y^2}{9} = 1 $$ Como 25 > 9 , logo, a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 e b^2 = 9 \Rightarrow b =3   são as medidas dos semi-eixos da elipse que tem esboço gráfico dado por

Como a^2 = b^2 + c^2 então c^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4 . Assim, as coordenadas dos focos desta elipse são $$ F_1(-4,0) \qquad F_2(4,0).$$ Além disso, podemos calcular a excentricidade como $$ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}.$$

b) 4x^2 + y^2 -16=0

SOLUÇÃO: 

Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem: $$4 x^2 + y^2 = 16$$ ou $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 $$ Mas, como 16 > 4 , logo, $$a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$$ e $$ b^2 = 4 \Rightarrow b =2 $$ são as medidas dos semi-eixos da elipse que tem esboço gráfico como dado abaixo

Como a^2 = b^2 + c^2 então c^2 = 16-4 = 12 \Rightarrow c = \sqrt{12} . Assim, as coordenadas dos focos desta elipse são $$ F_1(0, -\sqrt{12}) \qquad F_2(0, \sqrt{12}).$$ Além disso, podemos calcular a excentricidade como $$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{1} .$$

c) x^2 +y^2 -9=0

SOLUÇÃO: 

A forma reduzida da equação é $$x^2 + y^2 = 9$$ ou $$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}= 1.$$ Neste caso, tem-se que $$a^2 = b^2 = 9$$ e, portanto, $$a = b = 3$$ Sendo assim, como os eixos maior e menor possuem a mesma medida podemos dizer que temos uma circunferência de raio 3 e centro na origem do sistema como a figura abaixo ilustra.

Como $$a^2 = b^2 + c^2 $$ concluímos que $$c = 0$$ portanto, os dois focos coincidem com o centro da circunferência e a excentricidade é dada por $$ e = \frac{c}{a} = \frac{0}{3} = 0 .$$ O que nos leva à conclusão de que a circunferência é uma elipse de excentricidade nula.

2) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação.

SOLUÇÃO: 

Tendo em vista que o foco dado é do eixo dos x, a equação desta elipse é da forma: $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 .$$ Precisamos determinar os valores de a e b . Como o eixo maior mede 8, temos que 2 a = 8 , logo a = 4 . Agora, tendo em vista que o centro da elipse é (0,0)   e um dos focos é (3,0) , conclui-se que c = 3 . Sabendo que na elipse $$a^2 = b^2 + c^2$$ temos que $$ 16 = b^2 + 9 \Rightarrow b^2 = 7 \Rightarrow b = \sqrt{7}.$$ Portanto, a equação procurada é dada por $$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1.$$

3) Uma elipse cujo eixo maior é paralela ao eixo Oy, tem centro no ponto (4,-2) , excentricidade e = \dfrac{1}{2} e eixo menor de medida 6. Qual a equação desta elipse?

SOLUÇÃO: 

A equação da elipse é da forma $$\frac{(x-h)^2}{b^2}+ \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$$ com h = 4 e k = -2 . Precisamos determinar a e b . Mas $$ 2b = 6 \Rightarrow b = 3 $$ e sendo $$ e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{a}{2}$$ pela relação $$ a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = 3^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$$ encontramos que $$a^2 = 12.$$ Logo, a equação da elipse é dada por  $$\frac{(x-4)^2}{9}+ \frac{(y+2)^2}{12} = 1.$$ Eliminando os denominadores e desenvolvendo os quadrados, encontramos $$ 4 \left( x^2-8x+16 \right) +2 \left( y^2 + 4y +4 \right) = 36 \\ 4x^2-32x+64+3y^2+12y+12-36 = 0 \\ 4x^2+3y^2-32x+12y+40 = 0.$$

4) Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação $$ 4x^2+9y^2-8x-36y+4 = 0.$$

SOLUÇÃO: 

Primeiramente precisamos efetuar a separação das variáveis e posteriormente uma manipulação algébrica para colocar a equação em sua forma padrão: $$ \left(4x^2 -8x \right) + \left( 9 y^2 – 36y\right) = – 4 \\ 4 \left(x^2 -2x \right) + 9 \left(  y^2 – 4y \right) = – 4 \\ 4 \left(x^2 -2x +1  \right) + 9 \left(  y^2 – 4y +4 \right) = – 4 + 4 + 36 \\ 4 \left( x-1 \right) ^2 + 9 \left( y-2\right)^2 = 36 \\  \\ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4}= 1.$$  Esta equação nos diz que:

• o centro da elipse é o ponto C(1,2) ;
• a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 ;
• b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 .

Para atender os demais itens da questão precisamos esboçar o gráfico desta elipse.

Assim, o vértices são os pontos $$ A_1 (-2,2), \qquad A_2 (4,2), \qquad B_1 (1,0), \qquad B_2 (1,4).$$ Para determinar os focos precisamos do valor de c : $$ a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow 9 = 4 + c^2 \Rightarrow c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5}.$$ Portanto, os focos são: $$ F_1 \left( 1- \sqrt{5} , 2 \right) \qquad \text{e} \qquad F_2 \left( 1 +  \sqrt{5} , 2 \right) $$ e a excentricidade é igual a $$ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}.$$

5) Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse:

a) de focos F_1(-4,0) , F_2 (4,0) e eixo maior medindo 12;

SOLUÇÃO: 

Temos 2a = 12 e 2c = 4 - (-4) , logo, a = 6 e c = 4 . Daí b^2 = a^2 - c^2 = 20. Como os focos estão sobre o eixo dos Ox, sabemos que $$ \frac{x^2 }{36} + \frac{y^2}{20} = 1 $$ é a equação desta elipse.

b) de focos F_1(0,-3) , F_2 (0,3) e eixo menor medindo 8;

SOLUÇÃO: 

Temos 2b = 8 e 2c = 3 - (-3) , logo, b = 4 e c = 3 . Daí a^2 = b^2 + c^2 = 25 . Como os focos estão sobre o eixo dos Oy, sabemos que $$ \frac{x^2 }{16} + \frac{y^2}{25} = 1 $$ é a equação desta elipse.

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