Matrizes e Sistemas Lineares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Uma lista com 4 exercícios resolvidos para você entender como as matrizes e os sistemas lineares estão interligados.

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma: $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +…+a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +…+a_{2n} x_n & = & b_2\\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 +…+a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{array} \right.  \qquad (1)$$ onde, cada um dos a_{ij}são os coeficientes, x_i são as incógnitas e b_i são os termos independentes. Uma sequencia de números (r_1,r_2,...,r_n), chamada é solução do sistema linear acima se satisfaz todas as equações do sistema ao mesmo tempo. Se m = n dizemos que o sistema linear é de ordem n .

Um sistema linear na forma: $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +…+a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +…+a_{2n} x_n & = & b_2\\ \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 +…+a_{nn} x_n & = & b_m\\ \end{array} \right. \qquad (1) $$ pode ser representado na forma $$ A \times X = B $$ onde  $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right] $$ é a matriz dos coeficientes do sistema, $$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_1  \\ x_2 \\ \vdots \\  x_n\\ \end{array} \right] $$ é a matriz das incógnitas e $$ B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_n\\ \end{array} \right] $$ é a matriz dos termos independentes. Portanto, uma forma de solucionar o sistema linear (1) é $$ X = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T} \times B.$$

Desta fórmula também surge a regra de Cramer foi formada e desenvolvida pelo grande matemático Gabriel Cramer na década de 1750 . Ele usou o método de Cramer para encontrar a solução de um sistema de equações com [/katex] n [/katex] variáveis ​​e o mesmo número de equações. Gabriel Cramer trabalhou em análise e determinantes. Ele é mais conhecido por sua fórmula para resolver equações simultâneas. Neste caso, $$x_k = \frac{\text{det} \left( \Delta _k \right) }{\text{det} \left( A \right)}, \qquad k = 1,2,3, \cdots, n .$$ Esta fórmula dá a solução do sistema $$ A \times X = B $$ quando \text{det} (A) \neq 0, ou seja, a matriz A é inversível, é conhecida como Regra de Cramer.

Outra forma de solucionar sistemas lineares é o escalonamento, ou a Eliminação Gaussiana, um algoritmo constantemente usado para resolver este qualquer tipo de sistema linear e entender este processo é o nosso objetivo a partir de agora. Pode-se provar que todo sistema linear é equivalente a um sistema escalonado. Desta forma, basta que saibamos lidar com os sistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um escalonado para usar a eliminação gaussiana.

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

1. Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.
2. Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução. Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução. Dois sistemas S_1 e S_2 equivalentes são denotados por S_1 \sim S_2.

1ª Lista de Exercícios Sobre Matrizes e Sistemas Lineares

1) Determine, se possível, o valor de \alpha para que o sitema abaxo seja possível e determinado. $$ \left\{ \begin{array}{lll} x+2y-z & = & 0\\ x – 5y -7z & = & 0\\ x+4y+\text{sen}{( \alpha )}z & = &0\\ \end{array} \right. $$

SOLUÇÃO: Como este sistema linear é homogêneo, então ele só pode ser possível e determinado (ou seja, possui apenas a solução trivial (0,0,0) ) ou possível e indeterminado (com as infinitas soluções dadas na forma ( a t , b t , c t); i \in \mathbb{R} . Para que ele seja possível e determinado basta que o determinante da matriz dos seus coeficientes, dado por $$ \text{det}(A) = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1\\ 1 & -5 & -7\\ 1 & 4 & \text{sen}{( \alpha )} \end{array} \right| = -2 \left( \text{sen}{(\alpha)}+7\right) -5 \text{sen}{(\alpha)}+19 = 5 – 7 \text{sen}( \alpha ),$$ seja diferente de zero. Assim, basta que $$ \text{sen}( \alpha ) \neq \frac{5}{7} \Leftrightarrow \alpha \neq \text{arcsen}\left( \frac{5}{7} \right)$$ para que este sistema seja possível e determinado.

2. Considere a matriz A dada por $$A(t) = \left[\begin{array}{cc} \cos{(t)}& -\sin{(t)}\\ \sin{(t)} & \cos{(t)} \\ \end{array} \right] $$

a) Mostre que A(t_1 + t_2) = A(t_1)A(t_2).

SOLUÇÃO: $$ A(t_1 + t_2) = \left[\begin{array}{cc} \cos{(t_1 + t_2)}& -\sin{(t_1 + t_2)}\\ \sin{(t_1 + t_2)} & \cos{(t_1 + t_2)} \\ \end{array} \right] = \\ = \left[\begin{array}{cc} \cos{(t_1)} \cos{(t_2)} – \sin{(t_1)} \sin{(t_2)} & -\sin{(t_1)} \cos{(t_2)} – \cos{(t_1)}\sin{(t_2)}\\ \sin{(t_1)} \cos{(t_2)} + \cos{(t_1)}\sin{(t_2)} & \cos{(t_1)} \cos{(t_2)} – \sin{(t_1)} \sin{(t_2)} \\ \end{array} \right] = \\ =\left[\begin{array}{cc} \cos{(t_1)}& -\sin{(t_1)}\\ \sin{(t_1)} & \cos{(t_1)} \\ \end{array} \right] \times \left[\begin{array}{cc} \cos{(t_2)}& -\sin{(t_2)}\\ \sin{(t_2)} & \cos{(t_2)} \\ \end{array} \right] = A(t_1)A(t_2) .$$

b) Determine A(t)A(-t).

SOLUÇÃO: Usando a fórmula do item anterior temos que $$ A(t)A(-t) = A\left(t + [-t] \right) = A(0) = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right].$$

c) Calcule o determinante de A(t).

SOLUÇÃO: $$ \text{det}(A) = \left|\begin{array}{cc} \cos{(t)}& -\sin{(t)}\\ \sin{(t)} & \cos{(t)} \\ \end{array} \right| = \cos ^2 (t) + \sin ^2 (t) = 1 .$$

d) Calcule a matriz inversa de A(t).

SOLUÇÃO: Como o determinante de A(t) é diferente de zero e igual a 1 , podemos usar a fórmula $$ \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]^{-1} =  \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]$$ para encontrarmos que $$ A(t)^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} \cos{(t)}& -\sin{(t)} \\ \sin{(t)} & \cos{(t)} \\ \end{array} \right]^{-1} =  \frac{1}{1} \left[ \begin{array}{cccc} \cos{(t)} & \sin{(t)} \\ -\sin{(t)} & \cos{(t)} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} \cos{(t)} & \sin{(t)} \\ -\sin{(t)} & \cos{(t)} \\ \end{array} \right]$$

3. Considere a matriz $$A = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right],$$ determine:

a) A matriz cofatora de A;

SOLUÇÃO: Vamos encontrar todos os cofatores de A

$$A_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cccc} 2 & 1\\  2 & 0 \end{array} \right| = -2; \qquad A_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1\\  0 & 0 \end{array} \right| = 0; \qquad A_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 2\\  0 & 2 \end{array} \right| = 2; $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} \left|\begin{array}{cccc} 0 & 1\\  2 & 0 \end{array} \right| = 2; \qquad A_{22} = (-1)^{2+2} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1\\  0 & 0 \end{array} \right| = 0; \qquad A_{23} = (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 0\\  0 & 2 \end{array} \right| = -2; \\ A_{31} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cccc} 0 & 1\\  2 & 1 \end{array} \right| = -2; \qquad A_{32} = (-1)^{3+2} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1\\  1 & 1 \end{array} \right| = 0; \qquad A_{33} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 \\  1 & 2 \end{array} \right| = 2; $$ Logo, a matriz cofatora de A é dada por $$ \text{cof} (A)  = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 2\\ 2 & 0 & -2\\ -2 & 0 & 2 \end{array} \right].$$

b) Determinante de A.

SOLUÇÃO: Observando que a matriz A possui duas colunas iguais sabemos que seu determinante é nulo. Usando a Regra de Laplace, também, podemos facilmente, a partir da terceira linha desta matiz, chegar à mesma conclusão: $$ \text{det}(A) = 2 \times A_{32} = 2 \times 0 = 0$$

c) A matriz inversa de A

SOLUÇÃO: Como o determinante da matriz é nulo ela não admite inversa.

4. Estude a solução do sistema $$ \left\{ \begin{array}{lll} 3x+y-z & = & 3\\ 2x-y+3z & = & 5 \\ 8x+y-z & = &11 \\ \end{array} \right. $$

SOLUÇÃO:  Escalonando o sistema linear encontramos:

$$ \left\{ \begin{array}{lll} 3x+y-z & = & 3\\ 2x-y+3z & = & 5 \\ 8x+y-z & = &11 \\ \end{array} \right. \sim \left\{ \begin{array}{rll} y+3x-z & = & 3\\ -y+2x+3z & = & 5 \\ y+3x-z & = &11 \\ \end{array} \right. \sim \left\{ \begin{array}{rll} y+3x-z & = & 3\\ 5x+2z & = & 8 \\ 5x & = &8 \\ \end{array} \right.$$

Daí, temos que $$ x = \frac{8}{5}; \qquad y = – \frac{9}{5} \qquad z = 0.$$ Portanto teremos um sistema possível e determinado.

Leia Mais:

• Sistemas Lineares de Ordem 2: Métodos da Adição e da Substituição
• Sistemas Lineares mxn: Eliminação Gaussiana ou Escalonamento
• Sistemas Lineares: Forma Matricial e a Regra de Cramer
• Determinante de Matrizes | As Regras de Sarrus, Laplace, Vandermonde e Chió
• Inversão de Matrizes | Como calcular inversa de uma matriz?