Limite e Continuidade de Funções Vetoriais de Várias Variáveis.

Nesse artigo queremos apresentar a ideia de limite e continuidade para as funções vetoriais de várias variáveis..

Sejam $m$ e $n$ dois naturais diferentes de zero.

Uma função de $n$ variáveis reais a valores vetoriais em $\mathbb{R}^m$ é uma função $f:A\rightarrow \mathbb{R}^m$ , onde $A$ é um subconjunto não vazio de $\mathbb{R}^n$ , denominado domínio de $f$ .

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Esta função associa cada $n$ -upla ordenada $(x_1,x_2, ..., x_n) \in A$ a um único vetor $f(x_1,x_2, ..., x_n) \in \mathbb{R}^m$ .

O conjunto $$\left\{ f(x_1,x_2, …, x_n) \in \mathbb{R}^m; (x_1,x_2, …, x_n) \in A \right\}$$ é denominado imagem de $f$ .

A Topologia dos Espaços R² e R³

Antes da definição de limites para funções de duas ou mais variáveis se faz necessária a definição de alguns conceitos básicos quanto a topologia dos espaços $\mathbb{R} ^2$ e $\mathbb{R} ^3$ .

DEFINIÇÃO (Vizinhança ou Bola Aberta)

Dado um ponto $P_0 \in \mathbb{R}^n$ e um número $\delta >0$ , denominamos de vizinhança de $P_0$ , que se indica por $V_{\delta} (P_0 )$ , ou bola aberta $B \left( P_0 , \delta \right)$ , ao conjunto de pontos $P \in \mathbb{R}^n$ , cuja distância a $P_0$ seja menor do que $\delta$ .

Ou seja, no $\mathbb{R} ^2$ ,

$$B \left( P_0 , \delta \right) = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ; \| (x,y) – (x_0, y_0) \| < \delta \right\}.$$

Bola Aberta no R²

No caso do espaço $\mathbb{R} ^3$ a vizinhaça de $V_{\delta} (P_0)$ , ou a bola aberta $B(P_0, \delta)$ , para um ponto $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ é definida pela condição

$$B \left( P_0 , \delta \right) = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ; \| (x,y,z) – (x_0, y_0,z_0) \| < \delta \right\}.$$

EXEMPLO

O conjunto abaixo representa a vizinhança dos pontos do plano que distam menos de $1$ da origem.

\begin{eqnarray*}
B \left( (0,0) , 1 \right) & = & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ; \| (x,y) – (0, 0) \| < 1 \right\}\\
\\
& = & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ; \| (x,y) \| < 1 \right\}\\
\\
& = & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ; \sqrt{x^2 +y^2} < 1 \right\}\\
\\
& = & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ; x^2 +y^2 < 1 \right\}\\
\end{eqnarray*}

Já o conjunto de pontos que distam menos que $1$ do ponto $(1,0,1)$ está escrito abaixo:

\begin{eqnarray*}
B \left( (1,0,1) , 1 \right) & = & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ; \| (x,y,z) – (1,0, 1) \| < 1 \right\}\\
\\
& = & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ; \| (x-1,y,z-1) \| < 1 \right\}\\
\\
& = & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ; \sqrt{(x-1)^2 +y^2 + (z-1)^2} < 1 \right\}\\
\\
& = & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^3 ; (x-1)^2 +y^2+(z-1)^2 < 1 \right\}\\
\end{eqnarray*}

DEFINIÇÃO (Ponto de Acumulação)

Seja $A \subset \mathbb{R} ^n$ . Um ponto $P \in \mathbb{R} ^n$ é dito um ponto de acumulação de $A$ se toda bola aberta com centro em $P$ contiver uma infinidade de pontos de $A$ .

Ponto de Acumulação no R²

EXEMPLO

Seja $A=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2; 0< \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}\right\}<1$ .

Então,

todos os pontos de $A$ são pontos de acumulação de $A$ .
Os pontos da circunferência $(x-1)^2+(y-2)^2 = 1$ também não pertence a $A$ , mas são pontos de acumulação de $A$ .
Qualquer ponto $(x,y)$ do plano tal que $(x-1)^2+(y-2)^2 > 1$ não é ponto de acumulação de $A$ .

O Limite de Uma Função Vetorial de Várias Variáveis

Vamos definir o limite de uma função vetorial de várias variáveis para um campo vetorial de dimensão 3 para que fique mais fácil a sua visualização. Porem, esta mesma ideia pode ser estendida para uma função $f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ , usando o conceito topológico de bolas abertas e pontos de acumulação em cada um destes conjuntos.

DEFINIÇÃO

Seja $P_0(x_0, y_0, z_0)$ um ponto de um domínio D e $\vec{r_0}$ seu vetor posição. Seja $\vec{f}$ uma função vetorial definida em D, exceto, possivelmente, em $\vec{r_0}$ . Seja $\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ um vetor constante. Se $\vec{r}$ é o vetor posição do ponto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ , dizemos que $$\lim_{\vec{r} \rightarrow \vec{r_0}}{\vec{f} (x,y,z)} = \vec{a} $$ se, para todo $\varepsilon >0$ , existe $\delta > 0$ tal que $$ \left| \vec{f} (x,y,z) – \vec{a} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| \vec{r} – \vec{r_0} \right| < \delta.$$

Essa definição pode ser ilustrada pela imagem abaixo:

Ilustração da Definição de Limite de Funções Vetoriais de Várias Variáveis

A ideia básica para $$\lim_{\vec{r} \rightarrow \vec{r_0}}{\vec{f} (x,y,z)} = \vec{a} $$ seria a de que para toda bola aberta centrada no ponto $a = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ e com raio $\varepsilon >0$ no contradomínio de $\vec{f}$ , existe uma bola aberta centrada $P_0(x_0, y_0, z_0)$ e com raio igual $\delta > 0$ no domínio de $\vec{f}$ , tal que todo ponto da bola aberta no domínio é levado pela $\vec{f}$ num ponto da bola aberta no contra-domínio.

De forma análoga ao que fizemos para as funções vetoriais de uma variável, se $\vec{f} = (f_1, f_2, f_3)$ , onde cada $f_i, i = 1,2,3$ é uma função escalar de várias variáveis, então $$\lim_{(x,y,z) \rightarrow (x_0, y_0, z_0)}{\vec{f} (x,y,z)} = \vec{a} \Leftrightarrow \lim_{(x,y,z) \rightarrow (x_0, y_0, z_0)}{f_i (x,y,z)} = a_i , $$ onde $i = 1,2,3 .$

Ou seja, o limite de uma função vetorial de várias variáveis existe, se, e somente se, o limite de cada uma funções componentes existe.

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PROPRIEDADES DO LIMITE

As propriedades do limite de uma função vetorial de várias variáveis seguem as mesmas daquelas enumeradas para as funções vetoriais de uma variável dadas neste artigo sobre o conceito do limite de curvas.

EXEMPLOS:

1) $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{ [y \vec{i} - x \vec{j} ]} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{ y \vec{i}} - \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0)}{ x \vec{j} } = \vec{0}.$

A Continuidade de Uma Função Vetorial de Várias Variáveis

Novamente, vamos definir a continuidade de uma função vetorial de várias variáveis para um campo vetorial de dimensão 3 para que fique mais fácil a sua visualização.

Porem, esta mesma ideia pode ser estendida para uma função $f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ , usando o conceito topológico de bolas abertas e pontos de acumulação em cada um destes conjuntos, como geralmente é feito em livros de Análise no $\mathbb{R} ^n$ .

DEFINIÇÃO (CONTINUIDADE DA FUNÇÃO VETORIAL)

Seja $\vec{f} (x,y,z)$ , definida num domínio D. Dizemos que $\vec{f}$ é contínua em $P_0(x_0, y_0, z_0) \in D$ , se $$\lim_{(x,y,z) \rightarrow (x_0, y_0, z_0)}{\vec{f} (x,y,z)} = \vec{f} (x_0,y_0,z_0). $$

EXEMPLO:

1) A função vetorial $\vec{f} (x,y) = y \vec{i} - x \vec{j}$ é contínua em todos os pontos do plano.

Limite e Continuidade de Funções Vetoriais de Várias Variáveis.

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