Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes

Neste artigo queremos apresentar formas de resolver equações homogêneas de segunda ordem com coeficientes contantes. Vamos nos concentrar então em EDO’s homogêneas de segunda ordem dadas por P(t)y'' + Q(t) y'+ R(t) y = 0 cujos coeficientes P,Q, R, são constantes.

Neste caso, nossa equação diferencial se reduz a ay'' + b y'+ c y = 0, onde a,b,c são constantes dadas.

Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma \dfrac{d^2y}{dt^2}=f\left(t,y,\dfrac{dy}{dt} \right), onde f é uma função dada.

Em geral, denotaremos a variável independente por t.

Uma EDO de segunda ordem é dita linear se f\left(t,y,\dfrac{dy}{dt} \right) = g(t) -p(t)\dfrac{dy}{dt}-q(t) y, isto é, se f é linear em y e y'.

Em geral, este tipo de equação será denotada por y'' + p(t) y'+q(t) y = g(t).

Com frequência encontramos a equação y'' + p(t) y'+q(t) y = g(t) escrita como P(t)y'' + Q(t) y'+ R(t) y = G(t).

Neste caso, basta dividirmos a equação toda por P(t). Isto é possível, pois P(t) \neq 0, caso contrário, a EDO não seria de segunda ordem.

Uma EDO linear de segunda ordem é dita homogênea se y'' + p(t) y'+q(t) y = 0 ou se P(t)y'' + Q(t) y'+ R(t) y = 0.

EXEMPLO: 

1. A EDO y'' + 5y' + 6y = 0 é de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
2. A EDO \left(t^2-3t \right) + t y' - \left( t +3 \right)y =0 é de segunda ordem, linear e homogênea.
3. A EDO y'' - 5y' + 6y = 2e^{t} é de segunda ordem, linear e não homogênea.
4. A EDO t^2 y y'' + 5y'=e^{-2t} é de segunda ordem e não-linear .

MÉTODO DE SOLUÇÃO:

Considerando a equação ay''+by'+cy=0 com a, b e c coeficientes reais dados e sejam \lambda _1 e \lambda _2 as raízes da equação caraterística.

1) Se \lambda _1 \neq \lambda _2 raízes reais, então a solução geral da EDO será y(t) = c_1 e^{\lambda _1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}.

2) Se \lambda _1 = \lambda _2, raízes reais, então a solução geral da EDO será y(t) = c_1 e^{\lambda _1 t} + c_2 t e^{\lambda_2 t}.

3) Se \lambda = \alpha \pm \beta i, raízes complexas, então a solução geral da EDO será y(t)=e^{\alpha t} \left( c_1 \cos{\beta t} + c_2 \sin{\beta t} \right), c_1 , c_2 \in \mathbb{R}.

EXEMPLO: Vamos resolver a EDO de segunda ordem y''+3y'+2t = 0.

Equação Característica: r^2 +3 r + 2t = 0, que possui raízes dadas por r=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \dfrac{-3 \pm 1}{2} \Rightarrow \lambda _1 = -1,\;\;\; \lambda _2 = -2.

Solução Geral da EDO: Portanto, nossa solução será dada por y(t) = c_1 e^{ -t} + c_2 e^{-2t}

Solução Particular da EDO: Se y(0) = 0 e y'(0) = 1, qual a solução particular neste caso?

Temos que y'(t) = - c_1 e^{ -t} -2 c_2 e^{-2t}.

Então encontramos o seguinte sistema linear:

c_1+c_2  =  0    -c_1 -2 c_2  =  1
donde encontramos c_1 = 1 e c_2 = -1

Portanto a solução do problema de valor inicial é y(t) = e^{ -t} - e^{-2t}

EXEMPLO: Vamos resolver a EDO y''-8y'+16y = 0.

Equação Característica: r^2 -8 r +16 = 0; que possui raízes dadas por r=\dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} = \dfrac{8 \pm 0}{2} \Rightarrow \lambda _1 = = \lambda _2 = 4.

Solução da EDO: Portanto, nossa solução será dada por y(t) = c_1 e^{ 4t} + c_2 t e^{4t}

EXEMPLO: Vamos resolver o PVI de segunda ordem 4y''-8y'+3t = 0, com y(0)=2 e y'(0)=\frac{1}{2}

Equação Característica: 4r^2 -8 r +3 = 0; que possui raízes dadas por r=\dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \dfrac{8 \pm 4}{8} \Rightarrow \lambda _1 =3/2\;\;\;e\;\;\; = \lambda _2 = 1/2.

Solução da EDO: Portanto, nossa solução será dada por y(t) = c_1 e^{ 3/2t} + c_2 e^{1/2t}

Solução Particular da EDO: Temos que y(0) = 0 e y'(0) = 1, qual a solução particular neste caso?

Temos que y'(t) = \dfrac{3}{2} c_1 e^{ 3/2t} + \dfrac{1}{2} c_2 e^{1/2t}.

Então encontramos o seguinte sistema linear:

c_1+c_2  =  2
\dfrac{3}{2}c_1 + \dfrac{1}{2} c_2  =  \frac{1}{2}

que tem solução dada por: c_1 = -\dfrac{1}{2}\;\;\; e\;\;\; c_2 = \dfrac{5}{2}

Portanto a solução do problema de valor inicial é y(t) = -\dfrac{1}{2} e^{ 3/2t} + \dfrac{5}{2} e^{1/2t}

EXEMPLO: Considere a equação y'' + 2y' + 2y = 0.

Equação Característica: r^2 +2 r +2 = 0; que possui raízes dadas por r=\dfrac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \dfrac{-2 \pm 2i}{2} \Rightarrow \lambda _1 =-1-i\;\;\;e\;\;\; = \lambda _2 = -1+i.

Solução da EDO: Portanto, nossa solução será dada por y(t)=e^{-t} \left( c_1 \cos{ t} + c_2 \sin{ t} \right)

Solução Particular da EDO: Temos que y(0) = 0 e y'(0) = 1, qual a solução particular neste caso?

y(0) = c_1 \cos{0} = c_1 = 0 \Rightarrow y(t)=e^{-t} c_2 \sin{ t}. Daí, y'(t)= -c_2 e^{-t}\sin{ t} + c_2 e^{-t} \cos{t}.

Logo,

y'(0)= -c_2 e^{0}\sin{ 0} + c_2 e^{0} \cos{0}=c_2=1, portanto, y(t)=e^{-t} \sin{ t}

Listas de Exercícios Resolvidos de EDOs 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes

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