Curso Rápido e Gratuito de Integral Dupla – Cálculo em Várias Variáveis

Neste curso gratuito, trazemos aulas sobre Integrais Duplas, artigos com teorias, exemplos e listas de exercícios resolvidos; partindo da definição e passando pelo Teorema de Fubini, até as mudanças de coordenadas (polares).

As Integrais Duplas ou integrais de funções de funções de várias variáveis, são uma extensão natural do conceito de integral de funções de uma variável por serem uma forma de integrar sobre uma área bidimensional. Entre outras coisas, elas nos permitem calcular o volume sob uma superfície.

Pela experiência que temos com funções de uma variável sabemos que a definição da integral como limites de somas de Riemann não é um meio prático para o cálculo efetivo de integrais. Tanto que para estas funções escalares usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para efetuar o cálculo das integrais definidas, que reduz as integrais ao cálculo de primitivas.

De forma análoga, o cálculo das integrais duplas se reduz ao cálculo de integrais simples, graças ao Teorema de Fubini que, em resumo, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas.

Curso Rápido e Gratuito de Integrais Duplas

Aula 1: Integral dupla – Definição, Teorema de Fubini e Exemplos

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• Introdução ás Integrais Duplas e o Teorema de Fubini

Aula 2: Integral dupla – Como Dividir a Região “R” de Integração?

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• Integrais Duplas: Propriedades Básicas e o Teorema de Fubini

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• Integrais Duplas: Primeira Lista de Exercícios Resolvidos

Aula 3: Integral dupla – Mudança de Variável (Coordenadas Polares)

Nesta aula vamos falar sobre a Mudança de Variáveis para Integrais Duplas, em especial as coordenadas polares. As coordenadas polares e outras mudanças de variáveis são úteis diversos casos onde são convenientes para o cálculo das integrais duplas.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• Coordenadas Polares e a Mudança de Variável nas Integrais Duplas

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• Mudança de Variável na Integral Dupla | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Aula 4: Integral dupla – Cálculo de Volumes

Na aula abaixo, trago uma aula sobre o cálculo de volume usando as Integrais Duplas, através de exercícios resolvidos.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• Como Calcular Volumes e Áreas com Integrais Múltiplas?

Aula 5: Integral dupla Imprópria

Nesta aula, trago uma aula sobre Integrais Duplas Impróprias, explorando por exemplos as duas formas principais: pontos singulares e conjuntos ilimitados.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• As Integrais Duplas Impróprias Teoria e Exercícios Resolvidos

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• Integrais Duplas: Segunda Lista de Exercícios Resolvidos

Bibliografia do Curso:

Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.

Sugestão de Artigo: Os 5 Melhores Livros Para Aprender Cálculo Sozinho

Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Harbra, 1994.

SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol 1 e 2. Rio de Janeiro: Makron Books, 1987.

STEWART, J. Cálculo, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Pioneira – Thomson Learning, 2001.

SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Makron Books, 1994.

KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo 3 – Funções de Várias Variáveis. 5ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

Sobre o Professor:

Marcelo Lopes Vieira é mineiro, possui graduação em Licenciatura em Matemática (2008) e mestrado em matemática (2010) pela Universidade Federal de Uberlândia. Desde 2012 é professor assistente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia. Com interesse em Matemática Aplicada e Computacional principalmente nos temas relacionados a fenômenos não-lineares.

Atuou como professor orientador do Programa de Iniciação Científica Junior da OBMEP de 2013 à 2016. Também foi ministrante do Minicurso “A Matemática Financeira e o uso da HP-12C”, Grupo Ativa, Uberlândia (2008); Professor no Programa de perfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio, dentro do Projeto FNDCT/FINEP-PAPMEM em julho de 2009 e Janeiro de 2010.