Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar. Nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Continuidade para esse tipo de função.

Quando consideramos funções de duas variáveis, seu domínios são conjuntos de pontos (x,y) do plano, que podem ser o plano todo ou conjuntos mais restritos, como retângulos, elipses, semiplanos, quadrantes, etc.

Continuidade de uma Função de Várias Variáveis

Diz-se que a função f(x,y) é contínua em um ponto (x_0, y_0) se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}{f(x,y)} = f(x_0,y_0).$$

Dizemos que f: A \subset \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R} é contínua se ela for contínua em cada ponto de acumulação do domínio A.

OBSERVAÇÃO:

Tanto a definição de limite quanto a definição de continuidade podem ser estendidas ao caso de três ou mais variáveis independentes. Para tal, a dua função com n variáveis necessita estar definida em uma vizinhança V_{\delta}(P_0), sendo P_0 um ponto do espaço \mathbb{R} ^n, excluindo eventualmente, o ponto P_0.

EXEMPLO

A função $$\left\{ \begin{array}{lll}
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} ; (x,y) & \neq & (0,0)\\
\\
0; (x,y) & = & (0,0) \end{array} \right. $$ é contínua em (0,0)?

Como visto previamente, não existe $$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}.$$ Portanto, esta função não é contínua em (0,0).

EXEMPLO

A função $$\left\{ \begin{array}{lll}
\frac{x^3}{x^2+y^2} ; (x,y) & \neq & (0,0)\\
\\
0; (x,y) & = & (0,0) \end{array} \right.$$ é contínua em (0,0)?

Vimos previamente que $$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{x^3}{x^2+y^2}} = 0 = f(0,0).$$

Portanto, f é contínua no ponto (0,0).

Propriedades de uma Função Contínua

Sejam f e g duas funções constínuas no ponto (x_0, y_0). Então,

1. (f\pm g) é contínua em (x_0, y_0);
2. (kg) é contínua em (x_0, y_0), sendo k uma constante qualquer.;
3. (fg) é contínua em (x_0, y_0);
4. (f / g) é contínua em (x_0, y_0), desde que g(x_0, y_0) \neq 0.

EXEMPLO

Discuta a continuidade de $$h(x,y) = \ln{(x^2y^2 + 4)}.$$

Para que h seja contínua, precisamos que (x^2y^2 + 4)>0. Porem, x^2y^2>0, para todo par ordenado (x,y). Portanto, h é contínua para todo (x,y) \in \mathbb{R} ^2.

EXEMPLO

A função $$f(x,y) = {\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}$$ é contínua no ponto (0,0)?

Não, pois como vimos em exemplos anteriores, o limite $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}$$ não existe!

EXEMPLO

Considere$$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} e^{\frac{1}{x^2+y^2-1}}; &  x^2+y^2<1\\ 0;  & x^2+y^2\geq 1 \end{array} \right. $$

Neste caso, a função f(x,y) é dada por f(x,y) =0 se (x,y) é um ponto exterior e da circunferência centrada na origem e com raio igual a 1, e f(x,y) = e^{\frac{1}{x^2+y^2-1}} se (x,y) é um ponto interior à mesma circunferência.

Uma representação gráfica desta função pode ser vista abaixo:

Este esboço gráfico nos ajuda a perceber que as curvas de nível de f(x,y) com o domínio dado dentro da circunferência com centro na origem e raio 1 são circunferências, também centradas na origem, e com raio dado por $$R = \frac{1}{ln(c)} +1; \;\;\; 0 < c <1.$$

Logo, usaremos as coordenadas polares (x,y) = (rcos \theta , r sen \theta ) para investigar a continuidade de f(x,y) nos pontos da circunferência x^2 + y^2 = 1 .

Pelo nosso esboço gráfico, essa continuidade nos parece existir, mas precisar verificar isso analiticamente.

Nas novas variáveis polares (lembrando que r é sempre maior ou igual a zero) a função fica:

$$f(r, \theta ) = \left\{ \begin{array}{lr} e^{\frac{1}{r^2-1}}; &  r^2<1\\ 0;  & r^2\geq 1 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{lr} e^{\frac{1}{r^2-1}}; &  0<r<1\\ 0;  & r\geq 1 \end{array} \right. = g(r).$$

Assim, para que a função seja contínua em todos os pontos da circunferência x^2 + y^2 = 1 , precisamos garantir que $$ \lim_{r \rightarrow 1}{g(r)} = 0.$$

De fato, observando os limites laterais, encontramos $$ \lim_{r \rightarrow 1^-}{g(r)} = \lim_{r \rightarrow 1^-}{e^{\frac{1}{r^2-1}}} = e^{\frac{1}{0^-}} = e^{- \infty } = 0$$ $$ \lim_{r \rightarrow 1^+}{g(r)} = \lim_{r \rightarrow 1^+}{0} = 0.$$

Portanto, a função $$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} e^{\frac{1}{x^2+y^2-1}}; &  x^2+y^2<1\\ 0;  & x^2+y^2\geq 1 \end{array} \right. $$ é contínua em todos os pontos da circunferência x^2 + y^2 = 1 .

Observações Importantes:

1) As mesmas definições, resultados e estratégias usadas na solução dos limites, se estendem ao caso de três ou mais variáveis independentes, de maneira óbvia.

2) Uma função pode ser contínua em cada variável, separadamente, sem ser contínua em (x,y). A recíproca, entretanto, é sempre verdadeira: se uma função f(x,y) for contínua em um ponto  (x_0 , y_0 )  ela será certamente contínua neste ponto, separadamente, em x e em y, isto é, teremos $$ \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x,y_0)} = f(x_0,y_0) =  \lim_{y \rightarrow y_0}{f(x_0,y)}.$$

3) Um teorema importante traz um resultado similar ao usado para o cálculo de limites através de composições de funções de duas variáveis com curvas, agora para estabelecer a continuidade :

Sejam f: A \subset \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R} uma função e \gamma : I \rightarrow \mathbb{R} ^2  uma curva tais que \gamma (t) \in A para todo t \in I . Se \gamma (t) for contínua em t_0 \in I e f contínua em \gamma (t_0) , então a composta g(t) = f(\gamma (t)) será contínua em t_0 .

Continuidade de Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

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