Campos Vetoriais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Aqui apresentaremos uma segunda lista de exercícios resolvidos sobre campos vetoriais, mas antes vamos a um breve resumo sobre o tema. Seja A um subconjunto do \mathbb{R}^n e \vec{F} uma transformação de A em \mathbb{R}^n. Se para cada ponto de A o associarmos ao vetor \vec{F} iremos nos referir a \vec{F} como um campo vetorial.

No espaço \mathbb{R}^3, considere P(x,y,z) um ponto de um conjunto de pontos do espaço. Se para cada ponto P deste conjunto associarmos um vetor \vec{F}(P) = \vec{F}(x,y,z), então obtemos um campo vetorial para estes pontos e \vec{F}(x,y,z) é denominada função vetorial. Em coordenadas cartesianas, $$\vec{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z) i + F_2(x,y,z)j + F_3(x,y,z)k$$ onde i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) e F_i : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

As curvas que formam o fluxo do campo são também chamadas de curvas integrais do campo, pois se \vec{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z) \vec{ i } + F_2(x,y,z) \vec{ j } + F_3(x,y,z) \vec{ k } representa a velocidade das partículas num fluido, o movimento do fluido é completamente determinado pelo sistema $$\frac{dx}{dt} = F_1 \left( x(t), y(t), z(t) \right) $$ $$\frac{dy}{dt} = F_2 \left( x(t), y(t), z(t) \right) $$ $$\frac{dz}{dt} = F_3 \left( x(t), y(t), z(t) \right) ;$$ o que nos leva a associar o campo \vec{F} a um sistema de equações diferenciais ordinárias, cuja solução é o fluxo \gamma (t) = \left( x(t), y(t), z(t) \right) de \vec{F}.

O rotacional de \vec{F}, que se denota por rot\vec{F}, é o campo vetorial definido em A e dado por $$rot \vec{F} = \left|
\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
F_1 & F_2 & F_3
\end{array}
\right| = \nabla \wedge \vec{F}$$ onde \nabla é o vetor gradiente.

O divergente de \vec{F}, que se denota por div(\vec{F}), é o campo vetorial definido em A e dado por $$div\left( \vec{F} \right) = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} = \nabla . \vec{F}$$ onde \nabla é o vetor gradiente.

Campos Vetoriais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Encontre o campo gradiente das funções abaixo:

a) f(x,y,z) = 2(x^2+y)-z^2

SOLUÇÃO: 

b) f(x,y) = x+e^{y} ;

SOLUÇÃO: 

c) f(x,y) = \dfrac{20}{x^2+y^2} ;

SOLUÇÃO: 

2) Um escoamento é representado pelo campo de velocidade $$ \vec{v} = 10x \vec{i} – 10 y \vec{j} +30 \vec{k} .$$ Verificar se o escoamento é

a) um possível escoamento incompressível;

SOLUÇÃO: 

b) irrotacional.

SOLUÇÃO: 

3) Para um escoamento no plano xy, a componente em y da velocidade é dada por y^2 -2x+2y. Determinar uma possível componente x para um escoamento incompressível.

SOLUÇÃO: 

4) Verifique se os campos vetoriais abaixo conservativos. Em caso afirmativo encontre a função potencial. Além disso, determine o domínio de cada um deles.

a) \vec{f} (x,y,z) = 2x^2y \vec{i} + 5xz \vec{j} + x^2y^2 \vec{k};

SOLUÇÃO: 

b) \vec{f} (x,y,z) = (4xy+z) \vec{i} + 2x^2 \vec{j} + x \vec{k};

SOLUÇÃO: 

c) \vec{f} (x,y) = \dfrac{-y}{x^2+y^2} \vec{i} + \dfrac{x}{x^2+y^2} \vec{j};

SOLUÇÃO: 

d) \vec{f} (x,y,z) = (yz+2) \vec{i} + (xz+1) \vec{j} + (xy+2z) \vec{k};

SOLUÇÃO: 

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