O que são Campos Conservativos? Como Calcular o Potencial?

Nesse artigo queremos apresentar os campos vetoriais conservativos.

Um campo vetorial é uma função vetorial de várias variáveis com esta natureza onde m = n.

Grosso modo, um campo vetorial é conservativo se é um campo gradiente. A importância destes campos de vetores será vista mais adiante.

É importante lembrar que \nabla f é uma função vetorial de várias variáveis, ou seja, é um campo vetorial, conforma definimos no artigo dedicado ao vetor gradiente.

Neste caso, o operador \nabla pode ser considerado, livremente, como um vetor dos operadores parciais da derivada: $$ \nabla = \left(\frac{\partial }{\partial x_1}, \frac{\partial }{\partial x_2},…, \frac{\partial }{\partial x_n}\right)$$

Nos espaços \mathbb{R} ^2 e \mathbb{R} ^3 o vetor gradiente pode ser escrito como $$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} $$ $$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}$$ onde \{ \vec{i}, \vec{j} \} e \{ \vec{i}, \vec{j} , \vec{k} \} são, respectivamente, os vetores das bases canônicas de \mathbb{R} ^2 e \mathbb{R} ^3 .

O que São Campos Conservativos?

Um campo vetorial \vec{F}(x,y): \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n denomina-se conservativo se existe um campo escalar diferenciável \varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R} tal que
\begin{equation}
\nabla \varphi = \vec{F}\;\;\;em\;\;\;\Omega. \label{conservativo}
\end{equation}

Portanto, um campo vetorial é conservativo se é um campo gradiente.

Uma função \varphi que satisfaz essa igualdade denomina-se função potencial de \vec{F}.

EXEMPLO

Considere \vec{F}(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2} i + \frac{y}{x^2+y^2} j se (x,y)\neq(0,0) é conservativo?

Se este campo vetorial for conservativo, existirá uma função \varphi(x,y) de modo que $$\nabla \varphi (x,y) = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right) = \left( \frac{x}{x^2+y^2} , \frac{y}{x^2+y^2} \right) = \vec{F}(x,y).$$ Desta forma, $$\frac{x}{x^2+y^2} = \frac{\partial \varphi}{\partial x} \Rightarrow \varphi(x,y) = \frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)}+g(y).$$

Daí, $$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{y}{x^2+y^2}+g'(y) \Rightarrow g'(y) = 0 \Rightarrow g(y) = c. $$

Portanto, tomando $$\varphi(x,y) = \frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)} +c$$ podemos mostrar que o campo vetorial é conservativo.

PROPOSIÇÃO:

1) Para campos vetoriais tridimensionais, se rot \vec{F} \neq \vec{0} então \vec{F} não é um campo gradiente.

2) Para campos vetoriais planos \vec{F} = (F_1 , F_2 ) , se $$ \frac{ \partial F_2}{\partial x}(x,y) \neq \frac{ \partial F_1}{\partial y}(x,y)$$ então \vec{F} não é conservativo.

COROLÁRIO: Uma condição necessária, mas não suficiente, para que um campo seja conservativo é que rot \vec{F} = \vec{0} em \Omega.

EXEMPLO

O campo vetorial  \vec{F}(x,y) = -y i + x j é conservativo?

Temos que $$rot \vec{F} = \left|
\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
-y & x & 0
\end{array}
\right| = 2k \neq 0.$$

Neste caso, podemos concluir que o campo vetorial não é conservativo.

EXEMPLO

O campo vetorial \vec{F}(x,y) = (2xy) \vec{i} + (x^2 +3y^2)\vec{ j} é conservativo pois: $$ \frac{ \partial F_2}{\partial x}(x,y) = 2x = \frac{ \partial F_1}{\partial y}(x,y).$$ Seu potencial é dado por $$ f(x,y) = x^2y + y^3 + c$$ sendo c \in \mathbb{R}

Para encontrar este potencial, lembramos que $$ \nabla f = \vec{F} \Rightarrow  \frac{ \partial f}{\partial x} = 2xy ; \qquad \frac{ \partial f}{\partial y} = x^2 +3y^2 $$

Desta forma, integrando \frac{ \partial f}{\partial x} = 2xy para a variável x, encontramos $$f(x,y) = x^2y + g(y).$$ Agora, derivando esta função para a variável y e igualando a \frac{ \partial f}{\partial y} = x^2 +3y^2 encontramos $$f(x,y) = x^2y + y^3 +c.$$

EXEMPLO

O campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = \left( e^{yz}, xz e^{yz}, xy e^{yz} \right) é conservativo por $$rot \vec{F} = \vec{0}. $$ Seu potencial é $$f(x,y,z) = x e^{yz} +c . $$

Fórmulas Para Determinar o Potencial de um Campo Conservativo

Vamos considerar a existência do potencial nas dimensões 2 e 3.

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO.

Seja \vec{F} : \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R} ^2 , um campo de vetores de classe C^1 tal que as funções componentes  de \vec{F} satisfazem $$ \frac{ \partial F_2}{\partial x} = \frac{ \partial F_1}{\partial y},$$ então \vec{F} é conservativo. O potencial de \vec{F} é $$f(x,y) = \int{F_1 dx} + \int{\left(  F_2 – \int{\frac{\partial F_1}{\partial y} dx} \right) dy} + c, $$ onde c é uma constante real.

EXEMPLO

Seja \vec{F} (x,y) = (2xy, x^2+3y^2) .

Este campo vetorial esta definido para todos os pontos do plano.

Nos exemplos anteriores encontramos o potencial deste campo conservativo. Agora, vamos usar a técnica acima para encontrar esta mesma função potencial.

Observe que $$ \frac{ \partial F_2}{\partial x} = \frac{ \partial F_1}{\partial y} = 2x,$$ logo $$f(x,y) = \int{(2xy) dx} + \int{\left(  x^2 + 3 y^2 – \int{2x dx} \right) dy} + c = x^2y + y^3 +c .$$

CAMPOS CONSERVATIVOS NO ESPAÇO.

Seja \vec{F} : \mathbb{R} ^3 \rightarrow \mathbb{R} ^3 , um campo de vetores de classe C^1. Se rot \vec{F} = \vec{0} , então \vec{F} é conservativo. A recíproca é, também, verdadeira.

Uma foma prática para determinar o potencial de um campo de vetores \vec{F} = (F_1 , F_2 , F_3) é:

1) M = M(x,y,z) = \int{F_1 dx} .

2) N = N(x,y,z) = \int{ \left( F_2 - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dy} .

3) L = L(x,y,z) = \int{ \left( F_3 - \frac{\partial (M + N)}{\partial z} \right) dz} .

O potencial do campo \vec{F} é dado por $$f(x,y,z) = M(x,y,z)+N(x,y,z)+ L(x,y,z) +c, $$

onde c é uma constante real.

EXEMPLO

Seja \vec{F} (x,y) = (ycos(xy), xcos(xy) +2yz^3, 3y^2 z^2) .

Este campo vetorial esta definido para todos os pontos do espaço, perceba que rot \vec{F} (0,0,0), logo o campo é conservativo e $$ M(x,y,z) = \int{ycos(xy)dx} = sen(xy) $$ $$N(x,y,z) = \int{2yz^3 dy} = y^2 z^3.$$

Como $$F_3 – \frac{\partial (M + N)}{\partial z} = 0$$ então L(x,y,z) = k . Portanto, o potencial do campo é $$f(x,y,z) = y^2 z^3 + sen(xy) +c . $$

EXEMPLO (Campo Radial de Quadrado Inverso)

Seja o campo de posição P(x,y,z) . Definimos o seguinte campo: $$ \vec{F} (x,y,z) = \frac{k}{\| P(x,y,z) \| ^3 } P(x,y,z) ,$$ sendo k \in \mathbb{R} . Se k < 0 então este campo vetorial apontará para a origem do sistema de coordenadas.

Este campo é denominado campo radial de quadrado inverso e não está definido, obviamente, na origem do sistema de coordenadas.

Este campo é conservativo e suas coordenadas são dadas por $$F_1 (x,y,z) = \frac{ k x}{(x^2 + y^2 + z^2) ^{3/2}} $$ $$F_2 (x,y,z) = \frac{ k y}{(x^2 + y^2 + z^2) ^{3/2}} $$ $$F_3 (x,y,z) = \frac{ k z}{(x^2 + y^2 + z^2) ^{3/2}} $$

Então $$ M(x,y,z) = \int{ \frac{ k x}{(x^2 + y^2 + z^2) ^{3/2}} dx} = – \frac{ k x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}.$$ Agora, facilmente podemos calcular e encontrar $$ N(x,y,z) = L(x,y,z) = 0 .$$ Portanto, o potencial é $$ f(x,y,z) = – \frac{ k x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} + c .$$

Leia Mais:

• O que são Campos Vetoriais? | Definição, Exemplos, Rotacional e Divergente
• Funções Vetoriais | Parametrizando Superfícies
• Derivadas Parciais | Funções de Várias Variáveis a Valores Reais
• Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais
• Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais ou Campos Escalares
• EFEITO BORBOLETA | Edward Lorenz e a Teoria do Caos
• GRÁFICOS | Da Análise Estatística ao Mercado de Ações