Análise de Fourier | Resolvendo Problemas de Valores de Contorno

As séries, integrais e transformadas de Fourier podem ser utilizadas para resolver vários problemas de contorno que acorrem na ciência e na engenharia. Uma pergunta natural é: Como podemos saber qual das ferramentas de Fourier utilizar?

A resposta não é tão simples, mas poderia ser dada da seguinte maneira:

1) As séries de Fourier são aplicada a problemas que envolvem o domínio de variável entre [0,L];

2) As transformadas de Fourier são aplicadas em problemas onde a variável a ser transformada possui domínio dado por (- \infty , \infty) ;

3) Para aplicarmos uma transformada seno ou cosseno, o domínio de ao menos uma das variáveis no problema deve ser [0 , \infty) . Porém, o fator determinante na escolha entre a transformada seno e a transformada cosseno é o tipo de condição de contorno especificada em zero.

Nos exemplos que seguem, admitiremos, sem mais indicação, que tanto   u   e   \partial u / \partial x (ou   \partial u / \partial y tendem para zero quando   x \rightarrow \pm \infty.

Resolvendo Equação da Onda Unidimensional numa corda finita usando a Série de Fourier

Esta equação se aplica às pequenas vibrações transversais de uma corda flexível, fixa nas extremidades, tensa, tal como a corda de uma guitarra, ou um violino.

A função u(x,t) é o deslocamento de um ponto arbitrário x da corda no instante t . A constante c^2 = \dfrac{ \tau}{\mu} ; onde \tau é a tensão (constante) da corda e \mu é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda. $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},$$ $$ u(0,t) = 0; \qquad u(l,t) = 0$$ $$u(x,0) = f(x)$$ $$\frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} = g(x) \right. $$

Queremos encontrar soluções da equação acima tal que u(x,t) \neq 0. Esta equação foi resolvida neste artigo.

Resolvendo a Equação do Calor Unidimensional numa haste finita Usando a Série de Fourier

Vamos usar a Série de Fourier para solucionar a equação do calor unidimensional dada por $$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ com as condições de contorno $$u(0,t) = 0 = u(L,t), \forall t$$ e a condição inicial $$u(x,0) = f(x).$$ Queremos encontrar soluções da equação acima tal que u(x,t) \neq 0. Esta equação foi resolvida neste artigo.

Resolvendo a Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita usando a Transformada de Fourier

Encontre a solução da equação da onda $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ sujeita às condições iniciais: $$- \infty < x < \infty ,$$ $$u(x,0) = f(x)= \left\{ \begin{array}{rll}
2 & ; & |x| < 1 \\
0 & ; & |x| > 1
\end{array} \right. $$ e $$ \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 0 .$$

Aplicando a Transformada de Fourier na função u(x,t) obtemos $$\mathscr{F}\left\{ u(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = U(\alpha,t).$$ Com isso encontramos $$u(x,t) = \mathscr{F}^{-1}\{ U(\alpha,t) \} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{U(\alpha,t)e^{i\alpha x}d\alpha} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t) e^{i\alpha x}d\alpha}$$ A solução da equação acima tal que u(x,t) \neq 0.  é dada neste artigo.

Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Infinita Usando a Transformada de Fourier

Uma aplicação da Transformada de Fourier se dá na solucionar equações diferenciais parciais. Nestes nestes casos assumimos que tanto u como \dfrac{\partial u}{\partial x} (ou \partial u / \partial y) tendem a zero quando x\rightarrow \pm \infty. Estas restrições se verificam na grande maioria das aplicações como a Equação do Calor numa haste infinita.

Vamos resolver a equação $$k\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t},\;\;\;\;\; -\infty < x < \infty, \;\;\;\;\;t>0,$$ sujeita a $$u(x,0) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & |x|\leq 1\\ 0,&|x|>1 \end{array} \right.$$ Este PVIC modela a temperatura em uma haste infinita e é resolvida pela Transformada de Fourier. Esta equação foi resolvida neste artigo.

Uma Aplicação da Integral de Fourier na Equação do Calor em uma Haste Semi-Infinita

Vamos usar a Integral de Fourier para resolver o seguinte problema: Uma barra delgada semi-infinita cuja superfície é isolada, tem temperatura inicial igual a f(x). Em dado instante, aplica-se à extremidade x =0 um temperatura zero, que é então mantida. Queremos solucionar o problema de contorno para a temperatura u(x,t)  num ponto x no instante t.

O problema de contorno é dado por $$k\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t},\;\;\;\;\; x >0, \;\;\;\;\;t>0,$$ sujeita a $$u(x,0) = f(x), \qquad u(0,t) = 0 , \qquad | u(x,t) | \leq M $$ onde a última condição decorre do fato de a temperatura ser limitada, por motivos físicos. Esta equação foi resolvida neste artigo.

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