Integral de Fourier | Fator Descontínuo de Dirichlet e Integrais de Laplace

A Integral de Fourier é uma extensão das Séries de Fourier que permite obter expansões de funções que não são periódicas. As séries de Fourier são uma ferramenta poderosa no tratamento de diversos problemas envolvendo funções periódicas.

Porém, diversos problemas práticos não envolvem soluções periódicas e seria interessante generalizar o método das séries de Fourier com o intuito de incluir funções não-periódicas. Muitos destes problemas são resolvidos lançando mão da Integral de Fourier.

A Integral de Fourier

No estudo das Séries de Fourier consideramos a teoria e as aplicações do desenvolvimento de uma função f(x) de período 2L . Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: que acontece quando L \rightarrow \infty ? Veremos que, em tal caso, a série de Fourier se torna uma Integral de Fourier.

A Integral de Fourier de uma função f definida no intervalo (-\infty, \infty) é dada por $$f(x) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{\left[ A(\alpha)\cos{(\alpha x)}+B(\alpha)\sin{(\alpha x)}\right]d\alpha}$$ onde $$A(\alpha) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos{(\alpha x)}dx}\;\;\;e\;\;\;B(\alpha) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(x)\sin{(\alpha x)}dx}.$$

As condições suficientes para a convergência de uma integral de Fourier para f(x) são análogas às condições para uma série de Fourier, embora um pouco mais restritas.

TEOREMA

Se f(x) é contínua por partes em cada intervalo finito e possui derivadas à direita e à esquerda de cada ponto e a integral $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\left|f(x)\right|}dx$$ existe, então f(x) pode ser representada por uma integral de Fourier. Em cada ponto onde f(x) é descontínua os valores da integral de Fourier é igual à média dos limites laterais de f(x) no ponto.

A Integral de Fourier vale se x é ponto de continuidade de f(x) . Se x é o ponto de descontinuidade, devemos substituir f(x) por \dfrac{f(x+0) + f(x-0) }{2}, sendo f(x+0) o limite de f(x) à direita de x e f(x-0) o limite de f(x) à esquerda de x.

Exemplo 1

Encontre a integral de Fourier da função dada por
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
1; & |x|<1,\\
0; & |x|>1.
\end{array}
\right.$$

Observe que $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}{ \left|f(x)\right| }dx = \int\limits_{-1}^{1}{dx} = 2.$$ Portanto, f(x) pode ser representada por uma integral de Fourier.

Em cada ponto onde f(x) é descontínua os valores da integral de Fourier é igual à média dos limites laterais de f(x) no ponto.

Temos que $$A(\alpha) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos{(\alpha x)}dx} = \int\limits_{-1}^{1}{\cos{(\alpha x)}dx} = \frac{2\sin{\alpha}}{\alpha}$$ e$$B(\alpha) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(x)\sin{(\alpha x)}dx} = \int\limits_{-1}^{1}{\sin{(\alpha x)}dx} = 0$$

Assim,

\begin{eqnarray*}
f(x) & = & \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{\left[ \frac{2\sin{\alpha}}{\alpha}\cos{(\alpha x)}+0\sin{(\alpha x)}\right]d\alpha}\\
\\
& = & \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{\cos{(\alpha x)}\sin{\alpha}}{\alpha} d\alpha}
\end{eqnarray*}

Portanto, $$f(x) = {\left\{ \begin{array}{ll}\pi/2; & 0 \leq x <1,\\ \pi/4; & x = 1,\\ 0; & x > 1. \end{array} \right.}$$

O Fator Descontínuo de Dirichlet

A integral $$\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{\cos{(\alpha x)}\sin{\alpha}}{\alpha} d\alpha} = \left\{ \begin{array}{ll}\pi/2; & 0 \leq x <1,\\ \pi/4; & x = 1,\\ 0; & x > 1. \end{array} \right.$$ é conhecida como fator descontínuo de Dirichlet.

Em particular, quando x=0, temos $$\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{\sin{\alpha}}{\alpha} d\alpha} = \frac{\pi}{2}.$$

Formas Equivalentes do Teorema da Integral de Fourier

O teorema da integral de Fourier admite também esta outra formulação: $$f(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{\alpha = 0}^{\infty} \int\limits_{u = – \infty}^{\infty}{f(u) \cos{\alpha (x-u)}du d \alpha}$$ $$ f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{- \infty}^{\infty} \int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(u) e^{\alpha (x-u)}du d \alpha}$$ $$ f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{- \infty}^{\infty} {e^{i \alpha x}d \alpha} \int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(u) e^{-\alpha u}du}$$ onde se entende que, se f(x) não é contínua em x , então o membro esquerdo deve ser substituído por \dfrac{f(x+0) + f(x-0) }{2}, sendo f(x+0) o limite de f(x) à direita de x e f(x-0) o limite de f(x) à esquerda de x.

Estes resultados podem ser um tanto simplificados se f(x) é uma função par ou uma função ímpar; temos então $$ f(x) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty}{sen( \alpha x) d \alpha} \int \limits_{0}^{\infty}{f(u) sen( \alpha u) du } $$ se f(x) é ímpar. De forma análoga, $$ f(x) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty}{\cos{( \alpha x)} d \alpha} \int \limits_{0}^{\infty}{f(u) \cos{( \alpha u)} du } $$ se f(x) é par.

A Integral Seno e a Integral Cosseno de Fourier

Se f(x) é uma função par, então B(\alpha)=0, $$A(\alpha) = 2 \int\limits_{0}^{\infty}{f(x)\cos{(\alpha x)}dx},$$ que reduz nossa aproximação pela integral de Fourier da função f(x) a $$f(x) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{A(\alpha)\cos{(\alpha x)}d\alpha}.$$

Em contrapartida, se f(x) é uma função ímpar, então A(\alpha) = 0, $$B(\alpha) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(x)\sin{(\alpha x)}dx}$$ e, neste caso, nossa aproximação pela integral de Fourier da função f(x) se reduz à forma $$f(x) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{\left[B(\alpha)\sin{(\alpha x)}\right]d\alpha}.$$

A integral de Fourier de uma função par no intervalo (-\infty, \infty) é a integral cosseno e a integral de Fourier de uma função ímpar no mesmo intervalo é denominada integral seno de f(x).

As Integrais de Laplace

Queremos encontrar a integral de Fourier da função f(x) = e^{-kx} quando x>0, k>0 e f(-x) = f(x).

Como f é, por definição, uma função par, temos que B(\alpha) = 0 e $$A(\alpha) = 2 \int\limits_{0}^{\infty}{f(x)\cos{(\alpha x)}dx}= $$ $$= 2 \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-kx}\cos{(\alpha x)}dx} = $$ $$= -\frac{k}{k^2+\alpha^2}e^{-kx}\left( -\frac{\alpha}{k}\sin{(\alpha x)+ \cos{(\alpha x)}}\right) =$$ $$ = \frac{2k}{k^2+\alpha^2}. $$

Desta forma, $$f(x) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{2k}{k^2+\alpha^2}\cos{(\alpha x)}d\alpha} = e^{-kx}\;\;\;\;\;\;\;\;x,k>0.$$

Daí,
$$\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{\cos{(\alpha x)}}{k^2+\alpha^2}d\alpha} = \frac{\pi}{2k}e^{-kx}\;\;\;\;\;\;\;\;x,k>0.$$

De maneira análoga, se tomarmos na definição de f(x) que f(-x) = - f(x), obteremos que $$\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{\alpha\sin{(\alpha x)}}{k^2+\alpha^2}d\alpha} = \frac{\pi}{2}e^{-kx}\;\;\;\;\;\;\;\;x,k>0.$$

Esta integrais são denominadas Integrais de Laplace.

Exercícios Resolvidos:

Abaixo estão todas as nossas listas de exercícios resolvidos sobre a a Integral de Fourier. Basta clicar no link em azul e ser redirecionado para a página dos exercícios:

• A Integral de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• A Integral de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

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