A Diferencial | Funções de Várias Variáveis a Valores Reais

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Reais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

Vamos apresentar o conceito de diferencial através de funções com domínio no \mathbb{R} ^2 simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

A DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS

Seja f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0). A diferencial de f em (x_0, y_0) é definida pela função ou transformação linear T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} dada por $$T(x-x_0 , y – y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) [x-x_0] + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0) [y-y_0].$$

Numa notação clássica, definimos a diferencial de variáveis independentes x e y como os acréscimos $$dx=x-x_0$$ $$dy=y-y_0$$ e, neste caso, a diferencial de f em (x,y) com relação aos acréscimos dx e dy, é indicada por dz ou df: $$dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) dx + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dy.$$

dx dy f f 

EXEMPLO Calcular a diferencial de f(x,y) = x+\sqrt{xy} no ponto (1,1).

Temos que

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) & = & 1+\frac{y}{2\sqrt{xy}}\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) & = & \frac{x}{2\sqrt{xy}}\\
\end{eqnarray*}

Por definição, a diferencial de f no ponto (1,1) é a transformação linear

\begin{eqnarray*}
T(x-1 , y – 1) & = & \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) [x-1] + \frac{\partial f}{\partial y} (1, 1) [y-1]\\
\\
& = & \frac{3}{2}[x-1] + \frac{1}{2}[y-1]
\end{eqnarray*}

Utilizando a notação clássica temos $$df(1,1)=\frac{3}{2}dx+\frac{1}{2}dy.$$

Δz = dz?

O símbolo \Delta z é utilizado para representar a variação em f, quando se passa de (x,y) para (x+dx, y+dy), ou seja, $$\Delta z = f(x+dx, y+dy) – f(x,y).$$

Desta forma, podemos assumir a aproximação $$\Delta z \cong dz.$$

EXEMPLO Seja z=x^2 y.

Primeiramente vamos calcula a diferencial dz}:

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial x}(x, y) & = & 2xy\\
\\
\\
\frac{\partial z}{\partial y}(x, y) & = & x^2\\
\end{eqnarray*}

Portanto, dz = 2xy dx + x^2 dy.

Agora, utilizando a diferencial vamos calcular um valor aproximado para a variação \Delta z em z, quando se passa de (1,2) para (1.02,2.01).}

Temos que \Delta z \cong dz = 2xy dx + x^2 dy. Assim, para os pontos enunciados acima temos que x=1,\;\;y=2,\;\;dx = 0.02\;\;e\;\;dy=0.01. Daí,

$$\Delta z = 2\times 1 \times 2 \times 0.02 + 1^2 \times 0.01 = 0.09$$

Qual seria o erro cometido nesta aproximação?

Observe que $$\Delta z = (1.02)^2(2.01) – 1 \times 2 = 0,091204.$$

Portanto, o erro cometido na aproximação acima é de 0,001204.

A DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS

A definição de diferencial pode ser estendida para uma função com três ou mais variáveis. Por exemplo, para uma função com três variáveis w=f(x,y,z), a diferencial de w em (x_0, y_0, z_0) é definida também pela transformação linear T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} dada por $$T(x-x_0, y-y_0, z-z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0, z_0) [x-x_0] + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0, z_0) [y-y_0]+ \frac{\partial f}{\partial z} (x_0, y_0, z_0) [z-z_0]$$ e na notação clássica

$$dw = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) dx + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) dy + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) dz.$$

EXEMPLO

Considere a função f(x,y,z)=x^2yz+2x-2y.

Vamos calcular a diferencial de f(x,y,z) no ponto \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right):

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y,z) & = & 2xyz+2\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) & = & x^2z-2\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) & = & x^2y\\
\end{eqnarray*}

Assim,

$$T(x-1, y-2, z-\frac{1}{2}) = \frac{\partial f}{\partial x}\left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [x-1] + \frac{\partial f}{\partial y} \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [y-2]+ \frac{\partial f}{\partial z} \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [z-\frac{1}{2}].$$

$$T(x-1, y-2, z-\frac{1}{2}) = 4 [x-1] – \frac{3}{2}[y-2] + 2 [z-\frac{1}{2}].$$

Na notação clássica, $$df\left(1, 2, \frac{1}{2} \right) = 4 dx – \frac{3}{2}dy + 2 dz$$

Agora, vamos calcular a diferencial de f(x,y,z):

$$dw = (2xyz+2)dx + (x^2z – 2) dy + (x^2 y)dz$$

Aplicações da Diferencial

EXEMPLO 1EXEMPLO 2 

Exercícios Resolvidos Sobre Diferencial

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