A Diferencial | Funções de Várias Variáveis a Valores Reais

A diferencial, no estudo do cálculo representa a parte principal da variação de uma função y = f(x) com relação à variações na variável independente. Neste artigo queremos explorar este conceito para funções de várias variáveis a valores reais.

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Reais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

Vamos apresentar o conceito de diferencial através de funções com domínio no \mathbb{R} ^2 simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

A DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS

Seja f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0). A diferencial de f em (x_0, y_0) é definida pela função ou transformação linear T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} dada por $$T(x-x_0 , y – y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) [x-x_0] + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0) [y-y_0].$$

Numa notação clássica, definimos a diferencial de variáveis independentes x e y como os acréscimos $$dx=x-x_0$$ $$dy=y-y_0$$ e, neste caso, a diferencial de f em (x,y) com relação aos acréscimos dx e dy, é indicada por dz ou df: $$dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) dx + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dy.$$

Neste caso, as diferenciais dx e dy são agora as variáveis independentes, que podem assumir valores reais quaisquer.

É importante notar que a expressão $$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$ só merece o nome de “diferencial” quando a função f  for realmente diferenciável. Não basta que f tenha derivadas parciais.

EXEMPLO Calcular a diferencial de f(x,y) = x+\sqrt{xy} no ponto (1,1).

Temos que

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) & = & 1+\frac{y}{2\sqrt{xy}}\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) & = & \frac{x}{2\sqrt{xy}}\\
\end{eqnarray*}

Por definição, a diferencial de f no ponto (1,1) é a transformação linear

\begin{eqnarray*}
T(x-1 , y – 1) & = & \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) [x-1] + \frac{\partial f}{\partial y} (1, 1) [y-1]\\
\\
& = & \frac{3}{2}[x-1] + \frac{1}{2}[y-1]
\end{eqnarray*}

Utilizando a notação clássica temos $$df(1,1)=\frac{3}{2}dx+\frac{1}{2}dy.$$

Δz = dz?

O símbolo \Delta z é utilizado para representar a variação em f, quando se passa de (x,y) para (x+dx, y+dy), ou seja, $$\Delta z = f(x+dx, y+dy) – f(x,y).$$

Desta forma, podemos assumir a aproximação $$\Delta z \cong dz.$$

EXEMPLO Seja z=x^2 y.

Primeiramente vamos calcula a diferencial dz}:

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial x}(x, y) & = & 2xy\\
\\
\\
\frac{\partial z}{\partial y}(x, y) & = & x^2\\
\end{eqnarray*}

Portanto, dz = 2xy dx + x^2 dy.

Agora, utilizando a diferencial vamos calcular um valor aproximado para a variação \Delta z em z, quando se passa de (1,2) para (1.02,2.01).}

Temos que \Delta z \cong dz = 2xy dx + x^2 dy. Assim, para os pontos enunciados acima temos que x=1,\;\;y=2,\;\;dx = 0.02\;\;e\;\;dy=0.01. Daí,

$$\Delta z = 2\times 1 \times 2 \times 0.02 + 1^2 \times 0.01 = 0.09$$

Qual seria o erro cometido nesta aproximação?

Observe que $$\Delta z = (1.02)^2(2.01) – 1 \times 2 = 0,091204.$$

Portanto, o erro cometido na aproximação acima é de 0,001204.

A DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS

A definição de diferencial pode ser estendida para uma função com três ou mais variáveis. Por exemplo, para uma função com três variáveis w=f(x,y,z), a diferencial de w em (x_0, y_0, z_0) é definida também pela transformação linear T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} dada por $$T(x-x_0, y-y_0, z-z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0, z_0) [x-x_0] + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0, z_0) [y-y_0]+ \frac{\partial f}{\partial z} (x_0, y_0, z_0) [z-z_0]$$ e na notação clássica

$$dw = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) dx + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) dy + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) dz.$$

EXEMPLO

Considere a função f(x,y,z)=x^2yz+2x-2y.

Vamos calcular a diferencial de f(x,y,z) no ponto \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right):

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y,z) & = & 2xyz+2\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) & = & x^2z-2\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) & = & x^2y\\
\end{eqnarray*}

Assim,

$$T(x-1, y-2, z-\frac{1}{2}) = \frac{\partial f}{\partial x}\left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [x-1] + \frac{\partial f}{\partial y} \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [y-2]+ \frac{\partial f}{\partial z} \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [z-\frac{1}{2}].$$

$$T(x-1, y-2, z-\frac{1}{2}) = 4 [x-1] – \frac{3}{2}[y-2] + 2 [z-\frac{1}{2}].$$

Na notação clássica, $$df\left(1, 2, \frac{1}{2} \right) = 4 dx – \frac{3}{2}dy + 2 dz$$

Agora, vamos calcular a diferencial de f(x,y,z):

$$dw = (2xyz+2)dx + (x^2z – 2) dy + (x^2 y)dz$$

Aplicações da Diferencial

As diferenciais são usadas para o cálculo de valores aproximados.

EXEMPLO 1

Uma caixa sem tampa em forma de um paralelepípedo retângulo sem tampa tem comprimento x = 110 cm, largura y = 90 cm e altura z = 70 cm. As paredes da caixa tendo espessura de 1 cm, o volume do material usado em sua construção será $$ \Delta V = 112 \times 92 \times 71 – 110 \times 90 \times 70 = 38 584 cm^3 $$

Por outro lado, como V = xyz , pondo dx=dy=2 cm e dz = 1 cm , obtemos $$dV = yz dx + xz dy + xy dz = (6300 + 7700) \times 2 + 9900 \times 1 = 37900 cm^3 $$ um valor bem próximo a \Delta V , com erro relativo inferior a 2%.

EXEMPLO 2 

Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio = 2 cm e altura = 5 cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$0,81 por cm².

Neste caso, a função custo como $$ C(r, h) = 0,81 ( 2 \pi rh + 2 \pi r^2)$$ onde 2 \pi r h representa a área lateral da caixa, e \pi r^2 , a área da base ou tampa.

Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10 % no raio e 2% na altura, então o raio da base passa para 2,2 cm e a altura para 5,1 cm.

Vamos usar a diferencial para encontrar o valor aproximado do acréscimo do custo. Temos $$dC = 0,81 ( 2 \pi h + 4 \pi r)dr + 0,81 \times 2 \pi r dh .$$

Portanto, o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa quando as dimensões são modificadas é de R$10,17, ou um acrescimento de 14,28%.

O acréscimo exato no custo da caixa basta calcular \Delta C = C(2,2 ; 5,1) - C(2;5) = 10,47 , o que nos dá um valor exato de R$10,47, ou um acréscimo de 14,7%. Logo, o erro do cálculo aproximado foi de 0,42%.

Exercícios Resolvidos Sobre Diferencial

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