Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma quarta lista de exercícios resolvidos sobre o Método da Variação dos parâmetros para E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem. O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados. Este método nos dá uma solução particular da equação y''+ p(t)y'+q(t)y=g(t), uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea y''+ p(t)y'+q(t)y=0.

A idéia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) por funções u_1 (t) e u_2 (t). Assim, y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t). Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Assim, chegaremos a uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por \psi(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt, e a solução geral será dada por y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).

4ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre o Método da Variação dos Parâmetros:

1) Resolva as EDOs abaixo:

a) 4y'' + 36y = \cosec{(3x)} 

SOLUÇÃO: Primeiramente devemos colocar a equação na forma padrão: $$y ” + 9y = \frac{1}{4} cosec{(3x)} .$$

Como as raízes da equação característica m^2 +9 = 0 são m_1 = 3 i e m_2 = - 3 i a solução da equação homogênea associada é dada por $$y_H(x) = c_1 cos(3x) + c_2 sen(3x) .$$

Usando y_1(x) = cos(3x) e y_2(x) = sen(3x) , encontramos $$W(cos(3x), sen(3x) ) = 3 cos^2 (3x) + 3 sen(3x) = 3.$$

Desta forma, usando o  Método da Variação dos Parâmetros encontramos, lembrando que cosec(3x) = \dfrac{1}{sen(3x)} ,

$$y_{P} (x) = – cos(3x) \int{\frac{sen(3x) cosec{(3x)}}{3} dx} + sen(3x) \int{\frac{cos(3x) cosec{(3x)}}{3}dx} = $$ $$ = -\frac{cos(3x)}{3} \int{dx} + \frac{ sen(3x) }{3} \int{\frac{cos(3x)}{sen(3x)}dx} =$$ $$ = -\frac{1}{12}x cox(3x) + \frac{1}{36}(sen(3x))\ln{|sen(3x)|}$$

Portanto, a solução geral é dada por $$y(x) = c_1 cos(3x) + c_2 sen(3x) -\frac{1}{12}x cox(3x) + \frac{1}{36}(sen(3x))\ln{|sen(3x)|}.$$

b) y'' + y = tg(t) + 3t -1

SOLUÇÃO: Neste caso, temos como solução da equação homogênea associada $$y_h(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) $$, o que nos leva a uma C.F.S. dado por \{ cos(t) , sen(t) \} onde W( cos(t) , sen(t) ) = 1 .

Iremos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p_1} (t) da equação $$y” + y = tg(t)$$ e posteriormente usaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p_2} (t) da equação $$ y” + y =  3t -1 .$$ Por fim, usaremos o princípio da superposição para encontrar $$ y_p (t) = y_{p_1} (t) + y_{p_2} (t) $$

Então, primeiramente, vamos utilizar o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular de equação y'' + y = tg{(t)}.

y_{p_1}(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{\sin{t}. \tan{t}}{1}}dt + \sin{t} \int{\dfrac{\cos{t}. \tan{t}}{1}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{\sin^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{1 - \cos^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt

y_{p_1}(t) = \cos{t} \left( \sin{t} - \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} \right) - \sin{t}\cos{t}

y_{p_1}(t) = - \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |}

Agora, usando o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontra a solução particular  y_{p_2} (t) = At +B e substituindo na EDO y'' + y =  3t -1 encontrando $$ y_{p_2}” + y_{p_2} = At +B = 3t -1 \Leftrightarrow A=3; B=-1$$ Portanto, $$y(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) – \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} + 3t -1 .$$

c) y'' + y = cos^2 (x)

SOLUÇÃO: Neste caso, temos como solução da equação homogênea associada $$y_h(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \mathrm{sen}\left( x\right) $$, o que nos leva a uma C.F.S. dado por \{ \cos(x) , \mathrm{sen}\left( x\right) \} onde W( \cos(x) , \mathrm{sen}\left( x\right) ) = 1 .

Iremos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} (x) da equação y'' + y = cos^2 (x) :

$$y_p(x) = -\cos(x) \int{\mathrm{sen}\left( x\right)cos^2 (x)dx} + \mathrm{sen}\left( x\right) \int{\cos(x)cos^2 (x)dx}=$$ $$y_p(x) = -\cos(x) \int{\mathrm{sen}\left( x\right)cos^2 (x)dx} + \mathrm{sen}\left( x\right) \int{cos^3 (x)dx}=$$ $$ y_p(x) = -\cos(x) \left( -\frac{{\mathrm{cos} ^{3}\left( x\right) }}{3} \right) + \mathrm{sen}\left( x\right) \left( \mathrm{sen}\left( x\right) -\frac{{\mathrm{sen} ^{3}\left( x\right) }}{3} \right)$$

$$  y_p(x) = -\frac{{\mathrm{cos} ^{4}\left( x\right) }}{3}+ \mathrm{sen} ^2 \left( x\right) -\frac{{\mathrm{sen} ^{4}\left( x\right) }}{3}.$$

Portanto, $$ y(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \mathrm{sen}\left( x\right)  -\frac{{\mathrm{cos} ^{4}\left( x\right) }}{3}+ \mathrm{sen} ^2 \left( x\right) -\frac{{\mathrm{sen} ^{4} \left( x\right) }}{3} . $$

d) y'' + y = sec(x) tg(x)

SOLUÇÃO: Neste caso, temos como solução da equação homogênea associada $$y_h(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \mathrm{sen}\left( x\right) $$, o que nos leva a uma C.F.S. dado por \{ \cos(x) , \mathrm{sen}\left( x\right) \} onde W( \cos(x) , \mathrm{sen}\left( x\right) ) = 1 .

Iremos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} (x) da equação $$y” + y = sec(x) tg(x )$$

$$y_p(x) = -\cos(x) \int{\mathrm{sen}\left( x\right)sec(t) tg(x)dx} + \mathrm{sen}\left( x\right) \int{\cos(x)sec(t) tg(x)dx}=$$ $$ =  -\cos(x) \int{tg^2(x)dx} + \mathrm{sen}\left( x\right) \int{tg(x)dx} = sen(t) – t cos(t) + sen(t) \ln{|cos(t)|}$$

Portanto, $$y(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \mathrm{sen}\left( x\right) + sen(x) -x cos(x) + sen(x) \ln{|cos(x)|}.$$

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre a Variação dos Parâmetros:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
  
• Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

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