Sistemas Lineares: Forma Matricial e a Regra de Cramer

A Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver sistemas lineares dentro da álgebra linear. Descubra como ela funciona e como começar a aplicá-la com este guia essencial!

A Regra de Cramer, também conhecida como Lei de Cramer, é uma das ferramentas mais importantes da álgebra linear, pois fornece um método simples e eficiente para resolver sistemas de equações. Neste guia, você aprenderá o que é a Regra de Cramer e como ela funciona, para que possa começar a entender e aplicar a álgebra linear rapidamente.

A Regra de Cramer é um método que pode ser usado para resolver sistemas lineares de equações. Ele funciona usando determinantes e cofatores para reorganizar a equação inicial em uma equação equivalente com uma única variável desconhecida. A partir desta equação, é então possível calcular o valor da variável desconhecida e assim resolver para a solução do sistema.

Determinantes são uma ótima maneira de resolver sistemas lineares de equações. Eles podem ser usados para simplificar equações e ajudar a expressar a relação entre duas variáveis em uma equação linear. Para usar determinantes para esse fim, você precisa entender como as matrizes funcionam e as diferentes operações que podem ser realizadas nelas. Saber como essas operações interagem umas com as outras pode ajudá-lo a abordar a solução de sistemas lineares de maneira eficiente.

O que é um Sistema Linear?

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma: $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +…+a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +…+a_{2n} x_n & = & b_2\\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 +…+a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{array} \right.  \qquad (1)$$ onde, cada um dos a_{ij}são os coeficientes, x_i são as incógnitas e b_i são os termos independentes. Uma sequencia de números (r_1,r_2,...,r_n), chamada é solução do sistema linear acima se satisfaz todas as equações do sistema ao mesmo tempo. Se m = n dizemos que o sistema linear é de ordem n .

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

1. Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.
2. Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução. Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução. Dois sistemas S_1 e S_2 equivalentes são denotados por S_1 \sim S_2.

A Forma Matricial de um Sistema Linear

Um dos erros mais comuns cometidos ao usar a Regra de Cramer é não entender como expressar adequadamente equações lineares triviais como matrizes. Ao expressar uma equação linear como uma matriz, você precisa se lembrar que o lado esquerdo da equação deve ser representado por sua própria matriz e cada membro do lado direito deve ser representado por sua própria coluna. Além disso, ao trabalhar com a matriz de coeficientes, certifique-se de que todos os coeficientes estejam de acordo com suas respectivas variáveis – caso contrário, seus resultados podem ser imprecisos ou errôneos.

Um sistema linear na forma: $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +…+a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +…+a_{2n} x_n & = & b_2\\ \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 +…+a_{nn} x_n & = & b_m\\ \end{array} \right. \qquad (1) $$ pode ser representado na forma $$ A \times X = B $$ onde  $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right] $$ é a matriz dos coeficientes do sistema, $$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_1  \\ x_2 \\ \vdots \\  x_n\\ \end{array} \right] $$ é a matriz das incógnitas e $$ B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_n\\ \end{array} \right] $$ é a matriz dos termos independentes.

Por exemplo, o sistema linear $$ \left\{ \begin{array}{lll} 2x-y-2z & = & 5\\ 4x+y+2z & = & 1\\ 8x – y+z & = & 5\\ \end{array} \right. $$ possui matriz dos coeficientes, dada por $$A = \left[ \begin{array}{lll} 2 & -1 & -2\\ 4 & 1 & 2\\ 8 & -1 & 1\\ \end{array} \right] \qquad \text{e } \qquad \text{det}(A) = 18.$$ Por isso, podemos concluir que este será um sistema linear possível e determinado. Além disso, $$ B = \left[ \begin{array}{cccc} 5 \\ 1 \\ 5 \\ \end{array} \right] $$ é a matriz dos termos independentes.

De forma direta, podemos garantir que se \text{det}(A) \neq 0 , então uma solução do sistema é dada por $$ X = A^{-1} \times B.$$ Lembrando que esta matriz inversa de A pode ser encontrada usando o Método de Gauss Jordan, ou então podemos calcular $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T}$$ onde \text{cof} (A) é a matriz formada pelos co-fatores de A . A matriz \left( \text{cof} (A) \right)^{T} é a matriz transposta da matriz dos cofatores, também chamada de matriz adjunta.

Portanto, uma forma de solucionar o sistema linear (1) é $$ X = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T} \times B.$$

A Regra de Cramer

A regra de Cramer foi formada e desenvolvida pelo grande matemático Gabriel Cramer na década de 1750 . Ele usou o método de Cramer para encontrar a solução de um sistema de equações com n variáveis ​​e o mesmo número de equações. Gabriel Cramer trabalhou em análise e determinantes. Ele é mais conhecido por sua fórmula para resolver equações simultâneas.

A Regra de Cramer é um método de resolver um sistema de equações lineares expressando cada equação componente como uma razão igual à razão dos determinantes. Para resolver um sistema de equações lineares com a Regra de Cramer, primeiro você precisa calcular o determinante de sua matriz de coeficientes. Então, para cada equação componente, substitua seus coeficientes no mesmo determinante e divida todos os elementos pelo determinante original. Sua solução será as razões obtidas dessa maneira.

A Regra de Cramer é um método poderoso para resolver um sistema de equações lineares, mas considere o uso de outros métodos, se possível. Por exemplo, representar graficamente as equações e encontrar seu ponto de interseção costuma ser muito mais simples do que usar a Regra de Cramer. Além disso, o método de Eliminação Gaussiana também pode ser eficaz ao lidar com grandes sistemas contendo centenas de variáveis. De qualquer forma, é importante entender todas as soluções disponíveis antes de decidir qual usar em sua situação específica.

Deduzindo a Fórmula da Regra de Cramer

Já vimos que uma forma de solucionar o sistema linear (1) é $$ X = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T} \times B.$$ Este resultado nos permite calcular explicitamente as variáveis x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n . Vejamos como.

$$ \left( \begin{array}{lll} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = \frac{1}{\text{det} (A) } \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \ldots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \ldots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{lll} b_1 \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) = $$ $$ = \frac{1}{\text{det} (A) } \left( \begin{array}{cccc} \sum\limits_{j = 1}^{n}{A_{j1} b_{j}} \\ \sum\limits_{j = 2}^{n}{A_{j2} b_{j}} \\ \vdots \\ \sum\limits_{j = 1}^{n}{A_{jn} b_{j}} \end{array} \right) $$

O termo \sum\limits_{j = 1}^{n}{A_{j1} b_{j} } é o determinante da matriz $$ \Delta _1 = \left[ \begin{array}{cccc} b_{1} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ b_{2} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right]$$ desenvolvido pela forma de Laplace à partir de sua primeira coluna. 

De modo geral, o termo \sum\limits_{j = 1}^{n}{A_{jk} b_{j} } com k = 1,2,3,...,n é o desenvolvimento, pela k-ésima coluna, do determinante (pela forma de Laplace) da matriz $$ \Delta _k = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & \ldots & b_1 & \ldots & a_{1n} \\  a_{21} & \ldots & b_2 & \ldots & a_{2n}\\  \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & b_n & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right]$$ obtida de A pela substituição de sua k-ésima coluna por B .

Temos então finalmente que $$x_k = \frac{\text{det} \left( \Delta _k \right) }{\text{det} \left( A \right)}, \qquad k = 1,2,3, \cdots, n .$$ Esta fórmula dá a solução do sistema $$ A \times X = B $$ quando \text{det} (A) \neq 0, ou seja, a matriz A é inversível, é conhecida como Regra de Cramer.

EXEMPLO: Para resolver o sistema linear $$ \left\{ \begin{array}{lll} 2x-y-2z & = & 5\\ 4x+y+2z & = & 1\\ 8x – y+z & = & 5\\ \end{array} \right. $$ encontramos a matriz dos coeficientes, dada por $$A = \left[ \begin{array}{lll} 2 & -1 & -2\\ 4 & 1 & 2\\ 8 & -1 & 1\\ \end{array} \right] \qquad \text{e, além disso, } \qquad \text{det}(A) = 18.$$ As matrizes auxiliares

com \text{det} \left( \Delta _1 \right) = 18 , \text{det} \left( \Delta _2 \right) = 18 e \text{det} \left( \Delta _3 \right) = -36 . Logo, $$ x = \frac{18}{18}  = 1, \qquad y = \frac{18}{18} = 1, \qquad \text{ e } \qquad z = \frac{-36}{18} = -2.$$

EXEMPLO: 

Vamos resolver, usando a Regra de Cramer, o sistema $$ \left\{ \begin{array}{lll} a x + b y & = & a^2 \\ b x + a y & = & b^2 \\ \end{array} \right. \qquad (a>0, b>0 \text{  e  } a \neq b ).$$ Primeiramente, precisamos calcular \text{det}(A), \text{det} \left( \Delta _1 \right) e \text{det} \left( \Delta _2 \right) : $$ \text{det}(A) = \left| \begin{array} {cc} a & b\\ b & a \\ \end{array} \right| =a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$$ $$\text{det} \left( \Delta _1 \right) = \left| \begin{array} {cc} a^2 & b\\ b^2 & a \\ \end{array} \right| = a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $$ $$\text{det} \left( \Delta _2 \right) = \left| \begin{array} {cc} a & a^2\\ b & b^2 \\ \end{array} \right| = ab^2 – a^2b = ab (b-a).$$ Como a>0, b>0 \text{  e  } a \neq b , temos que $$ \text{det}(A) = (a+b)(a-b) \neq 0, $$ portanto, este sistema é possível e determinado. Além disso, podemos aplicar a Regra de Cramer para encontrar a solução deste problema: $$x = \frac{\text{det} \left( \Delta _1 \right)}{\text{det} \left( A \right)} = \frac{ (a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$$ $$ y = \frac{\text{det} \left( \Delta _2 \right)}{\text{det} \left( A \right)} = \frac{ ab (b-a) }{(a+b)(a-b)} = – \frac{ab}{a+b}.$$ Portanto, o conjunto solução deste sistema linear será $$ S = \left\{ \left( \frac{a^2+ab+b^2}{a+b} ,  – \frac{ab}{a+b} \right) ;  a>0, b>0 \text{  e  } a \neq b \right\}.$$

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