Séries Numéricas – Solução da Prova de Métodos Matemáticos (2024-1)

Resolvemos uma prova abordando a convergência de séries numéricas e sequências. Utilizando técnicas fundamentais de análise matemática, os exercícios demonstram a aplicação de séries geométricas, fatoriais, e critérios de comparação para estudar limites e convergências, oferecendo soluções detalhadas para cada questão.

Introdução

As séries numéricas desempenham um papel crucial no estudo de Métodos Matemáticos. Neste post, analisaremos detalhadamente a convergência de diversas séries e sequências, utilizando conceitos fundamentais como séries geométricas, fatoriais e o critério da comparação.

Cada exercício explora diferentes abordagens matemáticas, desde sequências simples até séries mais complexas, como as que envolvem fatoriais e funções logarítmicas. Ao final, o leitor terá uma compreensão sólida sobre os métodos de resolução dessas séries e poderá aplicar esses conceitos em provas e estudos futuros de cálculo.

Exercício 1

Mostre que a sequência $$\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{2^n}{n!} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ é convergente.

Solução: Os elementos da sequência são:
\[
\frac{2^1}{1!}, \quad \frac{2^2}{2!}, \quad \frac{2^3}{3!}, \quad \frac{2^4}{4!}, \dots, \quad \frac{2^n}{n!}, \quad \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}, \dots
\]

Onde \(1! = 1\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\). Em consequência, os elementos da sequência podem ser escritos como:
\[
2, \quad 2, \quad \frac{4}{3}, \quad \frac{2}{3}, \dots, \quad \frac{2^n}{n!}, \quad \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}, \dots
\]

Então, \(a_1 = a_2 > a_3 > a_4\), de modo que a sequência pode ser decrescente. Deve-se verificar se \(a_n \geq a_{n+1}\), ou seja, determinar se:
\[
\frac{2^n}{n!} \geq \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}
\]
Isso equivale a:
\[
2^n(n+1)! \geq 2^{n+1}n!
\]
\[
2^n n! (n+1) \geq 2 \cdot 2^n n!
\]
\[
n+1 \geq 2
\]

Quando \(n = 1\), a desigualdade se torna \(2 \geq 2\), o que obviamente se cumpre. Quando \(n \geq 2\), a desigualdade também se cumpre. Como a desigualdade é válida, conclui-se que a sequência dada é decrescente e, portanto, monótona.

Uma cota superior para a sequência é 2, e uma cota inferior é 0. Portanto, a sequência é limitada.

Em consequência, a sequência \(\{ \frac{2^n}{n!} \}\) é uma sequência monótona e limitada, e, portanto, é convergente.

Exercício 2

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1 }{2^n} } $$

Solução: A série dada é uma série geométrica da forma:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
\]
Podemos identificar que essa é uma série geométrica com razão \( r = \frac{1}{2} \) e o primeiro termo \( a_1 = \frac{1}{2} \).

A série geométrica tem a forma geral:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 – r}, \quad \text{para } |r| < 1
\]

Neste caso, a série começa em \( n = 1 \), então precisamos ajustar a fórmula.

A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \) é geométrica com:
– \( r = \frac{1}{2} \)
– O primeiro termo \( a_1 = \frac{1}{2} \)

Agora, podemos aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

A soma de uma série geométrica infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} ar^n \) pode ser escrita como:
\[
S = \frac{a}{1 – r}, \quad \text{para } |r| < 1
\]

Neste caso, o primeiro termo da série \( \frac{1}{2^n} \) é \( a_1 = \frac{1}{2} \), e a razão \( r = \frac{1}{2} \). Vamos calcular a soma da série:

\[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1
\]

Portanto, a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \) converge e sua soma é \( 1 \).

Exercício 3

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1 }{n!} } $$

Solução: O que vamos fazer neste caso é usar a definição de convergência. As somas finitas desta série são dadas por:
\[
s_1 = 1, \quad s_2 = 1 + \frac{1}{2}, \quad s_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}
\]
\[
\vdots
\]
\[
s_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{n!}
\]
Agora, se considerarmos os primeiros \(n\) termos da série geométrica com \(a = 1\) e \(r = \frac{1}{2}\), temos:
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}
\]
Sabemos que esta sequência de somas parciais tem soma igual a 2.

Logo, como:

\[
\frac{1}{k!} < \frac{1}{2^{k-1}}, \, \forall k >2 \in \mathbb{N},
\]

podemos afirmar que

\[
s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} < 2
\]

Como a sequência de somas parciais possui uma cota superior, podemos dizer que:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}
\]

converge.

Para finalizar, vamos provar que:
\[
\frac{1}{k!} < \frac{1}{2^{k-1}} \quad \forall k \in \mathbb{N}
\]

Suponha, por absurdo, que existe algum \( k \in \mathbb{N} \) tal que:
\[
\frac{1}{k!} \geq \frac{1}{2^{k-1}}
\]
Ou seja:
\[
k! \leq 2^{k-1}
\]

Para \( k = 1 \):
\[
1! = 1 \quad \text{e} \quad 2^{1-1} = 1
\]
Então, \( 1! = 1 \), o que não contradiz a suposição.

Para \( k = 2 \):
\[
2! = 2 \quad \text{e} \quad 2^{2-1} = 2
\]
Aqui, \( 2! = 2 \), o que também não contradiz a suposição.

Para \( k = 3 \):
\[
3! = 6 \quad \text{e} \quad 2^{3-1} = 4
\]
Agora, \( 6 > 4 \), logo \( 3! > 2^{3-1} \), o que contradiz a suposição de que \( k! \leq 2^{k-1} \).

A partir de \( k = 3 \), temos que \( k! > 2^{k-1} \), o que contradiz nossa suposição inicial. Portanto, a suposição de que \( \frac{1}{k!} \geq \frac{1}{2^{k-1}} \) é falsa.

Assim, concluímos que para todo \( k \in \mathbb{N}, k>2 \):
\[
\frac{1}{k!} < \frac{1}{2^{k-1}}
\]

Exercício 4

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{n^3 }{n!} }$$

Solução: 

Como vimos anteriormente, a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \) converge. Agora, considere \( u_n = \frac{n^3}{n!} \) e \( v_n = \frac{1}{n!} \), e usando o critério da comparação ao passo do limite:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{n!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty
\]

Não podemos concluir nada neste caso.

Agora, se \( u_n = \frac{(n+3)^3}{(n+3)!} \), e como antes, \( v_n = \frac{1}{n!} \), usando novamente o critério da comparação ao passo do limite:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+3)^3}{(n+3)!} \cdot n!
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot (n+3)^3}{(n+3)(n+2)(n+1)n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+3)^3}{(n+3)(n+2)(n+1)}
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+3)^2}{(n+2)(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2} = 1
\]

Podemos concluir que a série é convergente.

Note-se que a convergência de uma série não é afetada pelo descarte de uma quantidade finita de termos. Logo, se  \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+3)^3}{(n+3)!} \]  converge, então \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n!} \]  também converge, pois eles diferem em apenas 3 termos.

Exercício 5

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1+ \text{sen}(2n) }{3^n} }$$

Solução: Dada a série:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + \sin(2n)}{3^n}
\]

Suponha que exista algum \(n = 1, 2, 3, \dots \) tal que:
\[
\frac{1 + \sin(2n)}{3^n} < 0
\]

Desta forma, como \(3^n > 0\), para todo \(n = 1, 2, 3, \dots \), temos que:
\[
1 + \sin(2n) < 0 \Rightarrow 1 + \sin(2n) < 0 \Rightarrow \sin(2n) < -1
\]

Como a função seno é limitada entre \(-1\) e \(1\), então temos um absurdo. Portanto,
\[
\frac{1 + \sin(2n)}{3^n} > 0
\]
e a série possui termos positivos.

Agora, note que:
\[
-1 \leq \sin(2n) \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \frac{\sin(2n) + 1}{3^n} \leq \frac{2}{3^n}
\]

Como:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}
\]
converge, pois é a série geométrica com razão \(r = \frac{1}{3} < 1\).

Assim, pelo teste da comparação, podemos afirmar que:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + \sin(2n)}{3^n} \quad \text{converge}.
\]

Além disso, como esta é uma série de termos positivos e limitada:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + \sin(2n)}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|1 + \sin(2n)|}{3^n}
\]

Portanto, esta série é absolutamente convergente.

Exercício 6

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{(-1)^n }{n[\text{ln}(n)]^5} }$$

Solução: Dada a série:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(\ln(n))^5}
\]

E como:
\[
\frac{1}{n(\ln(n))^5}
\]
sabemos que:
\[
\int_1^{\infty} \frac{1}{n(\ln(n))^5} \, dn = \left[ \frac{-1}{4(\ln(n))^4} \right]_1^{\infty} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{4(\ln(n))^4} – \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(4\ln(n))^4}
\]
\[
= + \infty + 0 = + \infty, \quad \text{ou seja, esta integral diverge}.
\]

Pelo critério da integral, a série de módulos não converge. Portanto, esta série não será absolutamente convergente.

Agora, como:
\[
a_n = \frac{1}{n(\ln(n))^5}
\]
é obviamente decrescente, pois seu numerador cresce quando \( n \to \infty \), e:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(\ln(n))^5} = 0
\]
então a série alternada:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(\ln(n))^5}
\]
é convergente, pelo Teste de Leibniz.

Exercício 7

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=2}^{+ \infty}{\frac{(-1)^n n^5 }{5^n} }$$

Solução: Dada a série:
\[
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n^5}{5^n}
\]

Observe que:
\[
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+1} \frac{(n+1)^5}{5^{n+1}}}{(-1)^n \frac{n^5}{5^n}} \right| = \left( \frac{(n+1)^5}{n^5} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} \right)
\]

\[
= \left( \frac{n+1}{n} \right)^5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \left( \frac{n+1}{n} \right)^5
\]

Logo:
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^5 = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{n^5 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5}{n^5} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5 = \frac{1}{5}
\]

Portanto, como:
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1,
\]
então a série:
\[
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n^5}{5^n}
\]
é absolutamente convergente.

Exercício 8

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{\sqrt[3]{n^2 + 3}} }$$

Solução: Devido ao fato de que para valores grandes de \(n\), o número \(n^2 + 2\) está próximo de \(n^2\), então o número \(1/(n^2 + 2)^{1/3}\) estará próximo do número \(1/n^{2/3}\).

A série:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2/3}}
\]
é divergente, já que é uma série \(p\)-série com \( p = \frac{2}{3} < 1 \). Pelo critério de comparação por passo ao limite, com:
\[
u_n = \frac{1}{(n^2 + 2)^{1/3}} \quad \text{e} \quad v_n = \frac{1}{n^{2/3}}
\]
temos:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n^2 + 2)^{1/3}}}{\frac{1}{n^{2/3}}}
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2/3}}{(n^2 + 2)^{1/3}}
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{n^2 + 2} \right)^{1/3}
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + \frac{2}{n^2}} \right)^{1/3} = 1
\]

Portanto, a série é divergente.

Exercício 9

Estude a convergência da série numérica $$ \sum_{n=2}^{+ \infty}{\frac{1 }{n \sqrt{\text{ln}(n)}} }$$

Solução: A função \( f \) definida por:
\[
f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x}}
\]
é contínua e assume valores positivos para todo \( x \geq 2 \). Além disso, se \( 2 \leq x_1 < x_2 \), então \( f(x_1) > f(x_2) \); de modo que \( f \) é decrescente para todo \( x \geq 2 \). Portanto, pode-se aplicar o critério da integral.

\[
\int_2^{\infty} \frac{dx}{x \sqrt{\ln x}} = \lim_{b \to \infty} \int_2^b (\ln x)^{-1/2} \frac{dx}{x}
\]

\[
= \lim_{b \to \infty} \left[ 2 \sqrt{\ln x} \right]_2^b
\]

\[
= \lim_{b \to \infty} \left[ 2 \sqrt{\ln b} – 2 \sqrt{\ln 2} \right]
\]

\[
= +\infty
\]

Assim, a série dada é divergente.

Conclusão

O estudo de séries numéricas é essencial para desenvolver um entendimento sólido de conceitos avançados em cálculo e métodos matemáticos. A partir das soluções apresentadas, fica claro como a aplicação de técnicas como o critério da comparação, o teste da integral e o estudo das séries geométricas simplifica a análise de convergência.

Além disso, o uso de sequências fatoriais demonstra a beleza da matemática no tratamento de limites e somas infinitas. Esses conceitos, quando dominados, não apenas resolvem questões teóricas, mas também preparam o aluno para enfrentar desafios mais complexos em áreas como análise e equações diferenciais.

Leia Mais:

1.1 – Sequências Infinitas de Números Reais

1.2 – Sequências Monótonas de Números Reais

1.3 – O Limite de uma Sequência de Números Reais

1.4 – Sequências Números Reais: Limites Infinitos

1.5 – Séries Numéricas | Números Reais

1.5 – Séries Numéricas de Termos Positivos | Critérios de Convergência

1.6 – Séries Numéricas de Termos Alternados | Critérios de Convergência

1.6 – Progressões | P.A., P.G., Sequências e Séries Numéricas