Séries Numéricas: Os Critérios de Convergência | Números Reais

As séries numéricas são uma ferramenta essencial em muitos ramos da matemática, incluindo análise, teoria dos números, e especialmente em cálculo diferencial e integral. Elas nos permitem somar infinitamente muitos termos, abrindo portas para a compreensão de fenômenos complexos em física, engenharia e além. Mas, para que essa soma infinita faça sentido, precisamos que a série seja convergente. Neste texto vamos estudar os principais testes de convergência de séries numéricas.

Introdução

Uma série numérica é definida como a soma de termos de uma sequência. Se essa soma tende a um limite específico, dizemos que a série é convergente; caso contrário, é divergente. A convergência de séries numéricas é um conceito fundamental, especialmente quando lidamos com séries infinitas de termos positivos.

As séries infinitas de termos positivos possuem propriedades especiais e que podem ser tratadas como critérios de convergência. A definição de série numérica é dada da seguinte forma: \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência e $$s_n = a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n,$$ então \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência de somas parciais denominada série infinita e denotada por $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} = a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n+…$$

Os números a_1, a_2,…,a_n são os termos da série infinita. Se esta sequência de somas parciais converge para um número real S, então a série é convergente e S é o valor da soma infinita. Caso contrário, a série é divergente, ou seja, não possui uma soma.

Neste artigo queremos tratar dos principais critérios de convergência para as séries numéricas. As demonstrações de cada um destes critérios de convergência deste teorema podem ser encontrados no livro “Cálculo com Geometria analítica”, de Louis Leithold.

Fundamentos das Séries Numéricas

Uma série é dita convergente se a soma de seus infinitos termos tende a um limite finito, isto é, se existe um número real L tal que: $$ \lim_{n \to \infty} S_n = L $$ onde S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n é a soma parcial dos primeiros $n$ termos da série.

Por outro lado, uma série é divergente se não converge, ou seja, se não tende a um limite finito quando n tende ao infinito.

Exemplo de série convergente

Um exemplo clássico de série convergente é a série geométrica para |r| < 1 : $$ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$$

Por exemplo, para r = \frac{1}{2}, temos: $$ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 2 $$

Teorema 1: Se \sum_{n=1}^{\infty}{u_n} é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser agrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante também será convergente e terá a mesma soma da série original.

Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada no livro “Cálculo com Geometria analítica”, de Louis Leithold.

Exemplo de série divergente

Um exemplo de série divergente é a série harmônica: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $$ Esta série diverge, o que significa que sua soma cresce indefinidamente e não se aproxima de nenhum limite finito.

Critérios de Convergência

Determinar a convergência de séries numéricas é crucial para sua aplicação. Vários critérios podem nos ajudar nessa tarefa:

1. Critério da Comparação:

Um dos métodos mais eficazes para determinar a convergência de séries numéricas é o critério da comparação. Esse critério nos permite comparar a série em questão com outra cuja convergência ou divergência já é conhecida. Se a série original for menor ou igual à série convergente conhecida, então ela também converge. Por outro lado, se for maior ou igual a uma série divergente conhecida, então ela também diverge.

Critério da Comparação: Seja \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} uma série de termos positivos.

1. Se \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} é uma série de termos positivos convergente, e a_n \leq b_n para todos os elementos inteiros positivos n, então \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} é convergente.
2. Se \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} é uma série de termos positivos divergente, e a_n \geq b_n para todos os elementos inteiros positivos n, então \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} é divergente.

EXEMPLO

Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes

1) \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{4}{3^n +1}}.

Note que $$\frac{4}{3^n +1} \leq \frac{4}{3^n}$$ e $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{4}{3^n}}$$ é a série geométrica que converge para $$\frac{4/3}{1-1/3}= 2$$. Pelo teste da comparação a série $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{4}{3^n +1}}$$ é convergente.

2) \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}}.

Note que $$n \geq \sqrt{n} \Rightarrow \frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$$ e a \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} é a série harmônica, que é divergente. Portanto, pelo teste da comparação $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}}$$ é uma série divergente.

2. Critério da Comparação ao Passo do Limite:

Este critério aprimora a abordagem de comparação ao considerar o limite da razão entre os termos de duas séries. Se o limite resultar em um valor positivo constante, ambas as séries compartilham o mesmo comportamento de convergência ou divergência. Esse método é particularmente útil quando as comparações diretas são complicadas, oferecendo uma alternativa robusta para avaliar a convergência de séries numéricas.

Critério da Comparação ao Passo do Limite: Sejam \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} e \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} séries de termos positivos.

1. Se \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{b_n}} = c > 0, então as duas séries convergem ou ambas divergem
2. Se \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{b_n}} = 0, e se \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} converge então a série \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} converge.
3. Se \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{b_n}} = +\infty, e se \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} diverge então a série \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} diverge.

EXEMPLO

1) Vamos determinar se a série $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{4}{3^n +1}}$$ é convergente ou divergente usando o critério da comparação ao passo do limite. Considere $$ u_n = \frac{4}{3^n +1} \qquad \text{ e } \qquad v_n = \frac{4}{3^n} .$$ Desta forma $$ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{u_n}{v_n}  } =  \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{\frac{4}{3^n +1}}{\frac{4}{3^n +1}}}= $$ $$ = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{3^n}{3^n +1}} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{1}{3^{-n }+1} } = 1. $$

Em consequência, pela condição (1) do teste da comparação ao passo do limite, a série dada é convergente.

2) Agora, vamos determinar se a série $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}} $$ é convergente usando o teste da comparação ao passo do limite. Considere $$ u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \qquad \text{ e } \qquad v_n = \frac{1}{n} .$$ Desta forma $$ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{u_n}{v_n}  } =  \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{\frac{1}{\sqrt{n}} }{ \frac{1}{n}}}= $$ $$ = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\sqrt{n}} = + \infty. $$ Portanto, pelo critério da comparação ao passo do limite, a série dada é divergente.

3) Para fechar nosso exemplo, vamos determinar se a série $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^3}{n!}} $$ é convergente usando o teste da comparação ao passo do limite. Considere $$ u_n = \frac{n^3}{n!} \qquad \text{ e } \qquad v_n = \frac{1}{n!} .$$ Desta forma $$ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{\frac{u_n}{v_n}  } =  \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{{\frac{n^3}{n!} }{ \frac{1}{n!} }}= $$ $$ = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty }{n^3} = + \infty. $$ Portanto, pelo critério da comparação ao passo do limite, a série dada é divergente.

Porém, pela terceira condição do critério da comparação ao passo do limite, ele não é aplicável a este caso por que a série $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}} $$ é convergente.

3. Critério da Integral:

O critério da integral é uma ferramenta poderosa para séries numéricas que correspondem a funções contínuas, decrescentes e positivas. A convergência ou divergência da série é determinada pela existência da integral da função correspondente. Se a integral de uma função contínua, decrescente e positiva converge, então a série associada também converge. Caso contrário, a série diverge. Este critério é especialmente útil para séries que podem ser representadas por funções específicas, facilitando a análise de sua convergência.

Critério da Integral: Seja f uma função contínua, decrescente, e de valores positivos para toda x \geq k . Então a série infinita $$\sum_{n=k}^{\infty}{f(n)} = f(k)+f(k+1)+f(k+2)+…+f(n)+… $$ é convergente se a integral \int\limits_{k}^{+ \infty}{f(x)} existe, e é divergente se \int\limits_{k}^{+ \infty}{f(x)} = + \infty .

EXEMPLO

1) Vamos determinar se a série $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}{ne^{-n}}$$ é convergente ou divergente usando o critério da integral. Considere $$ f(x) = x e^{-x} .$$ Então, como $$ f'(x) = e^{-x}-xe^{-x} = e^{-x} (1-x)$$ podemos concluir que f'(x) < 0, \forall x >1 , ou seja, a f(x) é decrescente para todo x \geq 1 . Portanto, esta função está sob as condições do critério da integral. Assim, ao aplicar a integração porpartes, obtemos $$ \int{xe^{-x}}dx = -e^{-x}(x+1) + c$$ e, consequentemente, usando a Regra de L’Hôpital$$ \int\limits_{1}^{+ \infty}{xe^{-x}dx} =\lim_{b \rightarrow + \infty}{ \left[ -e^{-x}(x+1) \right]_{1}^{b}} = \frac{2}{e}$$

Conclusão

Os critérios de convergência para séries numéricas são ferramentas indispensáveis para estudantes e profissionais das áreas de engenharia, matemática e física. Compreender e aplicar esses critérios permite a análise eficaz de séries infinitas, um componente essencial para o avanço no estudo do cálculo diferencial e integral. Este guia visa não apenas aprofundar o conhecimento teórico, mas também facilitar a aplicação prática desses conceitos em problemas reais.

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