Séries Alternadas: Critérios de Convergência; Convergência Absoluta e Condicional

Neste post, exploraremos os critérios de convergência para séries numéricas alternadas e a convergência absoluta. Com exemplos práticos e explicação detalhada, desvendaremos esses conceitos essenciais do cálculo diferencial e integral.

Introduçao

Uma série numérica é definida como a soma de termos de uma sequência. Se essa soma tende a um limite específico, dizemos que a série é convergente; caso contrário, é divergente. A convergência de séries numéricas é um conceito fundamental, especialmente quando lidamos com séries infinitas de termos positivos.

As séries infinitas de termos positivos possuem propriedades especiais e que podem ser tratadas como critérios de convergência. A definição de série numérica é dada da seguinte forma: \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência e $$s_n = a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n,$$ então \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência de somas parciais denominada série infinita e denotada por $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} = a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n+…$$

Os números a_1, a_2,…,a_n são os termos da série infinita. Se esta sequência de somas parciais converge para um número real S, então a série é convergente e S é o valor da soma infinita. Caso contrário, a série é divergente, ou seja, não possui uma soma.

As séries numéricas são fundamentais no estudo do cálculo, permitindo-nos somar infinitos termos e explorar conceitos de limite e convergência. Compreender a convergência de séries é crucial, seja para avanços teóricos em matemática ou aplicações práticas em física e engenharia. Este post visa elucidar os critérios de convergência para séries alternadas e a noção de convergência absoluta, elementos chave para a análise de séries infinitas. As demonstrações de cada um destes critérios de convergência deste teorema podem ser encontrados no livro “Cálculo com Geometria analítica”, de Louis Leithold.

Fundamentos das Séries Numéricas

Uma série é dita convergente se a soma de seus infinitos termos tende a um limite finito, isto é, se existe um número real L tal que: $$ \lim_{n \to \infty} S_n = L $$ onde S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n é a soma parcial dos primeiros $n$ termos da série.

Por outro lado, uma série é divergente se não converge, ou seja, se não tende a um limite finito quando n tende ao infinito.

Exemplo de série convergente

Um exemplo clássico de série convergente é a série geométrica para |r| < 1 : $$ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$$

Por exemplo, para r = \frac{1}{2}, temos: $$ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 2 $$

Teorema 1: Se \sum_{n=1}^{\infty}{u_n} é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser agrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante também será convergente e terá a mesma soma da série original.

Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada no livro “Cálculo com Geometria analítica”, de Louis Leithold.

Exemplo de série divergente

Um exemplo de série divergente é a série harmônica: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $$ Esta série diverge, o que significa que sua soma cresce indefinidamente e não se aproxima de nenhum limite finito.

As Séries Alternadas: O Critério de Leibniz para Convergência

Séries alternadas têm termos que alternam entre positivo e negativo. O Critério de Leibniz é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência dessas séries. Ele estabelece que uma série alternada converge se os valores absolutos de seus termos subsequentes diminuem monotonamente e tendem a zero. Vamos mergulhar um pouco mais profundamente nestes conceitos.

Definição e Exemplos de Séries Alternadas

Um tipo de séries infinitas que consta de termos positivos e negativos são chamadas séries alternadas, cujos termos são, alternadamente, positivos e negativos.

Definição (Séries Alternadas): Se a_n > 0 para todos os números inteiros positivos n , então a série $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^n a_n} = a_1 – a_2 + a_3 – a_4 + … + (-1)^{n}a_n + … $$ é chamada de série alternada.

Exemplo de Série Alternada: São exemplos de séries alternadas: $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^{n+1} \frac{1}{n}} = 1 – \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+ (-1)^{n+1} \frac{1}{n} + … $$ e $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^{n} \frac{1}{n!}} = -1 + \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-…+ (-1)^{n} \frac{1}{n!} + … $$

Critério de Leibniz para a Convergência de Séries Alternadas:

O teorema abaixo, denominado critério das séries alternadas, estabelece que uma série alternada é convergente se os valores absolutos de seus termos decrescem e o limite do n-ésimo termo é zero. O critério também é conhecido como o critério de Leibniz para séries alternadas devido ao fato de ter sido formulado por Leibniz em 1705.

Teorema (Critério de Convergência das Séries Alternadas): Suponha que se tenha a série alternada $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^n a_n} = a_1 – a_2 + a_3 – a_4 + … + (-1)^{n}a_n + … $$, onde a_n >0 e a_{n+1} < a_n para todos os números inteiros positivos n . Se \lim_{ n \rightarrow \infty}{a_n}= 0 , então a série alternada é convergente.

Exemplo 1: Vamos mostrar que a série $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^{n+1} \frac{1}{n}} $$ é convergente. Observe que $$ a_n = \frac{1}{n} $$ e obviamente temos que $$ a_{n} = \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} = a_{n+1}$$ para todos os números inteiros positivos n . Como $$ \lim_{ n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n}}= 0 $$ então podemos garantir a convergência desta série alternada.

Exemplo 2:Agora vamos estudar a convergência da série $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^{n} \frac{n+2}{n(n+1)}} .$$ Facilmente, vemos que a série é alternada e que $$ \lim_{ n \rightarrow \infty}{\frac{n+2}{n(n+1)}} = \lim_{ n \rightarrow \infty}{\frac{n}{n^2}} = 0. $$ Porém, antes de aplicar o critério das séries alternadas devemos verificar se a_{n+1} < a_n , que o mesmo que mostra que $$ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 .$$ Note que $$ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{n+3}{(n+1)(n+2)} }{\frac{n+2}{n(n+1)} } = \\ = \frac{n^2+3n}{n^2 +4n +4}=  \frac{n^2+3n}{(n^2 +3n)+ (n +4)}<1.$$ Portanto, pelo critérios das séries alternadas, a série dada é convergente.

A Convergência Absoluta de Séries Numéricas

Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos de seus termos é convergente. A convergência absoluta implica convergência, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Isso é crucial, pois séries absolutamente convergentes são mais “robustas”, permitindo, por exemplo, a reorganização de seus termos sem alterar a soma. Vamos detalhar matematicamente estas ideias.

O que são séries absolutamente convergentes?

Definição (Convergência Absoluta): A série infinita \sum_{n=1}^{\infty}{u_n } é absolutamente convergente se a série \sum_{n=1}^{\infty}{ | u_n | } é convergente.

Uma série que é convergente, mas não é absolutamente convergente é denominada condicionalmente convergente.

Exemplo 1: Um exemplo de série absolutamente convergente é $$ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \frac{2}{3^n} }$$ pois $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\left| (-1)^{n+1} \frac{2}{3^n} \right| } = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{3^n} }$$ que é uma série geométrica com r = \dfrac{1}{3}

Exemplo 2: Como vimos anteriormente, $$ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^{n+1} \frac{1}{n}} $$ é uma série alternada convergente, porém ela não é absolutamente convergente, pois sua série de valores absolutos é a série harmônica, que sabemos ser divergente.

Critérios de Convergência Absoluta

Obviamente todos os critérios de convergência para séries de termos positivos são úteis para investigar a convergencia absoluta das séries alternadas. Isso porque todo série de termos positivos é igual a sua série em módulo. Logo, todos os critérios de convergência estudados neste artigo são válidos para analisar a convergência das séries alternadas com seus termos em módulo.

Além destes, poderemos incluir os critérios abaixo.

Critério da Razão (D’Alembert):

O critério da razão diz que se o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos de uma série é menor que 1, a série é absolutamente convergente.

Teorema (Critério da Razão): Seja \sum_{n=1}^{\infty}{u_n } uma série infinita para onde cada u_n é diferente de zero e \lim_{n \rightarrow + \infty}{\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| } = L . Então:

1. se L < 1 , então a série é absolutamente convergente;
2. se L > 1 ou se \lim_{n \rightarrow + \infty}{\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| } = + \infty , então a série é divergente;
3. Se L = 1 , então nada se pode concluir sobre a convergência desta série.

Exemplo: Vamos estudar a convergência da série $$ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \frac{n}{2^n} }.$$ Observe que $$ u_n = (-1)^{n+1} \frac{n}{2^n} \qquad \text{e} \qquad u_n = (-1)^{n+2} \frac{n+1}{2^{n+1}}.$$ Portanto, $$ \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+2} \frac{n+1}{2^{n+1}}}{(-1)^{n+1} \frac{n}{2^n}} \right| = \frac{n+1}{2n}.$$ De modo que $$ \lim_{n \rightarrow + \infty}{\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| } = \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \frac{n+1}{2n} } = \frac{1}{2} < 1.$$ Portanto, pelo critério da razão, esta série é absolutamente convergente e, por consequência, a série é convergente.

Critério da Raiz (Cauchy):

O critério da raíz para a convergência absoluta diz que o limite da raiz n-ésima dos termos de uma série é menor que 1, então a série é absolutamente convergente.

Teorema (Critério da Raíz): Seja \sum_{n=1}^{\infty}{u_n } uma série infinita para onde cada u_n é diferente de zero e \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \sqrt[n]{| u_n |} } = L . Então:

1. se L < 1 , então a série é absolutamente convergente;
2. se L > 1 ou se \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \sqrt[n]{ | u_n |} } = + \infty , então a série é divergente;
3. Se L = 1 , então nada se pode concluir sobre a convergência desta série.

Exemplo: Vamos estudar a convergência da série $$ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n} \frac{3^{2n+1} }{n^{2n} } }.$$ Ao aplicar o critério da raíz tem-se que $$ \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \sqrt[n]{| u_n |} } = \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \sqrt[n]{ \frac{3^{2n+1} }{n^{2n} } } } = \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \frac{3^{2+1/n} }{n^{2} }  } = 0 <1.$$ Portanto, pelo critério da raíz, a série dada é absolutamente convergente e, por consequência, esta série é convergente.

Exemplo: Determine se a série é convergente ou divergente: $$ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1 }{[ \text{ln}(n+1)]^n } }.$$ Todos os termos desta série dão positivos, então $$ \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \sqrt[n]{| u_n |} } = \lim_{n \rightarrow + \infty}{ \sqrt[n]{\frac{1 }{[ \text{ln}(n+1)]^n } } } = \lim_{n \rightarrow + \infty}{  \left| \frac{1}{\text{ln}(n+1)} \right| } = 0 <1.$$ Portanto, pelo critério da raíz, a série dada é absolutamente convergente e, por consequência, esta série é convergente.

Relação entre Convergência Absoluta e Séries Alternadas

A convergência absoluta é particularmente interessante no estudo de séries alternadas, pois uma série alternada que é absolutamente convergente também é convergente pelo critério de Leibniz. Isso nos oferece uma ferramenta adicional para analisar a convergência de séries alternadas, ampliando nossa capacidade de compreensão e aplicação desses conceitos.

Teorema: Se a série \sum_{n=1}^{\infty}{ | u_n | } é convergente, então a série \sum_{n=1}^{\infty}{  u_n  } é convergente.

Exemplo: Determine se a série abaixo é convergente ou divergente: $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\text{cos} \left(\frac{1}{3} n \pi\right) }{n^2} }. $$ Observe que esta série expandida é igual a $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\text{cos} \left(\frac{1}{3} n \pi\right) }{n^2} } = \frac{1}{2} – \frac{1}{8} – \frac{1}{9} – \frac{1}{32}+\frac{1}{50}+\frac{1}{36}+\frac{1}{98}-…$$ Esta é uma série de termos positivos e negativos. Se pudermos demonstrar que esta série é convergente se mostrarmos que ela é absolutamente convergente. Observe que $$ \sum_{n=1}^{\infty}{ | a_n |} = \sum_{n=1}^{\infty}{ | \frac{\text{cos} \left(\frac{1}{3} n \pi\right) | }{n^2} } .$$ Como | \text{cos} \left(\frac{1}{3} n \pi\right) | \leq 1 , para todo n , então $$ \frac{| \text{cos} \left(\frac{1}{3} n \pi\right) |}{n^2}  \leq \frac{1}{n^2} $$ para todos os números inteiros positivos n . Como a série $$ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{n^2} } $$ é convergente (pois é a série p, com p = 2).  Deste modo, pelo critério da comparação podemos garantir que a série $$ \sum_{n=1}^{\infty}{ | a_n |} $$ é convergente. Portanto, a série dada é absolutamente convergente e pelo teorema anterior podemos garantir que a série $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\text{cos} \left(\frac{1}{3} n \pi\right) }{n^2} } $$ é convergente.

Conclusão:

A análise de convergência de séries é fundamental em diversas áreas, como na solução de equações diferenciais, na análise de sinais e sistemas, e na física teórica. Por exemplo, a série de Fourier, essencial na análise de sinais, depende da convergência de séries para representar funções periódicas através de somas de senos e cossenos.

Neste artigo exploramos os critérios de convergência para séries alternadas e a convergência absoluta, conceitos fundamentais no cálculo. Compreender esses critérios não apenas enriquece nosso conhecimento matemático, mas também amplia nossa capacidade de aplicar a matemática em problemas práticos.

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