Resolvendo EDOs por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos mais 6 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais Lineares solucionadas via Transformada de Laplace, que estiveram na prova do 1º semestre de 2022.

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 14ª Lista de Exercícios

1) Resolva as E.D.O.’s abaixo usando a Transformada de Laplace:

a) y'' -4 y' + 3y = e^{2t}, com y(0) = 0 e y'(0)=0.

SOLUÇÃO: 

b) y'' + y' -2y = sen(3t), com y(0) = 0 e y'(0)=0;

SOLUÇÃO: Transformada Inversa de Laplace

c) y'' +2y' +2y = f(t) , com y(0) = 0 e y'(0)=1; ; onde $$f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1; & \pi \leq t < 2 \pi \\ 0; & \text{para os demais valores de t} \end{array} \right.$$

SOLUÇÃO: 

d) y' + y = e^{2t}, com y(0) = 0;

SOLUÇÃO: Transformada Inversa de Laplace

e) y'' +2y' +2y = \delta(t-\pi) , com y(0) = 1 e y'(0) = 0;

SOLUÇÃO: Transformada Inversa de Laplace

2) Determine, usando a Transformada de Laplace, uma solução geral da equação $$ y” – a^2 y = 0, $$ com as condições iniciais y(0) = c_1 e y'(0) = c_2 . Em seguida, use esta solução geral encontrada para resolver o problema de valor inicial $$y” – \pi ^2 y = 0; \qquad y(0)=-1, y'(0) = \pi .$$

SOLUÇÃO:

Listas de Exercícios

• Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDOs por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos

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