Multiplicadores de Lagrange | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Os Multiplicadores de Lagrange se aplicam em muitos casos onde temos o problema de achar os extremos de uma função apresenta-se sujeito a certas condições nas variáveis independentes, que são chamadas de vínculo e o problema correspondente é um problema de extremos condicionados.

Seja f(x,y) diferenciável no aberto A e seja B = \{ (x,y); g(x,y)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y) \neq (0,0), \forall (x,y) \in B. Uma condição necessária para que (x_0,y_0) seja extremante local de f em B é que exista um real \lambda tal que $$\nabla f(x_0, y_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0).$$

Podemos garantir, para uma função f(x,y,z) diferenciável no aberto A \in \mathbb{R} ^3 e para um conjunto B = \{ (x,y,z); g(x,y,z)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y,z) \neq (0,0,0), \forall (x,y,z) \in B, a existencia de um \lambda _0 que satisfaz a relação $$\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0,z_0)$$ para um extremante local (x_0, y_0, z_0) de f.

Multiplicadores de Lagrange – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1. Determine o ponto do plano x+2y-z+4=0 que se encontra mais próximo da origem.

Quemos encontrar um ponto de mínimo da função f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 restrita ao plano x+2y-z+4=0.

Pelos Multiplicadores de Lagrange obtemos a condição (2x,2y,2z) = t (1,2,-1) sujeita a x+2y-z+4=0.

Resolvendo o sistema, encontramos (2/3,4/3,-2/3) como sendo o único extremante, logo é o ponto mais próximo da origem do plano, pois como ele é infinito é impossível determinar o ponto mais distante da origem neste caso.

2) Encontrar o ponto da esfera x^2+y^2+z^2 = 4 mais próximo do ponto (3,3,3).

Queremos minimizar a função f(x,y,z) = (x-3)^2 + (y-3)^2 + (z-3)^2 sujeito a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.

Desta forma, pelos Multiplicadores de Lagrange, o ponto de máximo deve satisfazer $$ \nabla f(x,y,z) = (2(x-3), 2(y-3), 2(z-3)) = \lambda (2x, 2y, 2z) = \lambda \nabla g(x,y,z).$$

Desta forma, $$x=y=z=\frac{3}{2(1- \lambda)},$$ e substituindo na equação da esfera, obtemos $$ x^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow  \left( \frac{3}{2(1- \lambda)} \right) ^2 + \left( \frac{3}{2(1- \lambda)} \right)^2 + \left( \frac{3}{2(1- \lambda)} \right)^2 = 4 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \frac{27}{4(1- \lambda)^2} = 4 \Rightarrow \lambda = \frac{4 \pm 3 \sqrt{3}}{4}.$$

Se \lambda = \frac{4 - 3 \sqrt{3}}{4} , obtemos o ponto $$\left( \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right) $$ que tem imagem menor que a do ponto $$\left( – \frac{2}{\sqrt{3}}, – \frac{2}{\sqrt{3}}, – \frac{2}{\sqrt{3}} \right) $$ que é obtido quando \lambda = \frac{4 + 3 \sqrt{3}}{4} .

Portanto, $$\left( \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \right) $$ é o ponto de mínimo procurado, ou seja, o ponto da esfera x^2+y^2+z^2 = 4 mais próximo do ponto (3,3,3).

3) A reta r é dada pela interseção dos planos $$x+y+z=1\;\;\;e\;\;\;2x+3y+z=6.$$ Determinar o ponto de r cuja distância até a origem seja mínima.

Usaremos os Multiplicadores de Lagrange queremos minimizar a função $$f(x,y,z) = x^2 + y^2 +z^2$$ condicionada às duas equações x+y+z=1 e 2x+3y+z=6 . Com isso, fazendo $$g(x,y,z) = x+y+z -1 \;\;\;e\;\;\; h(x,y,z) = 2x+3y+z-6$$ obtemos o sistema:

$$2x = \lambda _1 + 2 \lambda_2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}(\lambda _1 + 2 \lambda_2)$$

$$2y = \lambda _1 + 3 \lambda_2 \Rightarrow y = \frac{1}{2}(\lambda _1 + 3 \lambda_2) $$

$$2z = \lambda _1 + \lambda_2 \Rightarrow z = \frac{1}{2}(\lambda _1 + \lambda_2)$$

Substituindo esses valores em x+y+z=1 e 2x+3y+z=6 , obtemos o seguinte sistema: $$ 3 \lambda _1 +6 \lambda _2 = 2 $$ $$ 3 \lambda _1 +7 \lambda _2 = 6 $$ donde obtemos \lambda _2 = 4 e \lambda _1 = \frac{-22}{3} , o que nos leva ao ponto $$\left( \frac{1}{3}, \frac{7}{3}, – \frac{5}{3} \right)$$ o ponto de r cuja distância até a origem seja mínima.

4) Determine o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vertices estão sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 .

SOLUÇÃO: Seja (x,y,z) o vértice do paralelepípedo no primeiro octante, de forma que suas arestas medem 2x, 2y e 2z, respectivamente, e seu volume é V = 8xyz .

Para maximizar esta função, sujeita a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 formamos a função $$g(x,y,z, \lambda) = 8xyz- \lambda \left( x^2 + y^2 + z^2 – 1 \right)$$ e igualamos a zero suas derivadas parciais em relação a x,y,z e \lambda.

Desta forma obtemos as equações $$\frac{\partial g}{\partial x} =  4yz – \lambda x =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial y} =4xz – \lambda y =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial z} = 4xy – \lambda z =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial \lambda} =x^2 + y^2 + z^2 -1 = 0.$$

Para resolvê-las, multiplicamos cada uma das três primeiras equações x,y e z, respectivamente, efetuamos sua somas e usamos a última equação. Assim obtemos \lambda = 12 xyz

Substituindo este valor em $$\frac{\partial g}{\partial x} =  4yz – \lambda x =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial y} =4xz – \lambda y =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial z} = 4xy – \lambda z =0 $$ resulta em $$yz(1-3x^2) = 0 $$ $$xz(1-3y^2) = 0$$ $$xy(1-3z^2) = 0 .$$

Como x,y e z devem ser positivos, a solução do problema é $$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$ y = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$z = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\lambda = \frac{4}{\sqrt{3}}.$$

Então, o paralelepípedo procurado tem arestas \dfrac{2}{\sqrt{3}}   \dfrac{2}{\sqrt{3}} \dfrac{2}{\sqrt{3}} e volume V = \dfrac{8}{\sqrt{3}}.

5) Ache o máximo e o mínimo da função f(x,y,z) = x + y + z sobre a esfera x^2 + y^2 +z^2 = 1 usando os Multiplicadores de Lagrange.

SOLUÇÃO:  Queremos maximizar a função f(x,y,z) = x+y+z sujeito a restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1. Assim,

$$\left\{ \begin{array}{rll}
\nabla f(x, y, z) & = & \lambda \nabla g(x , y, z)\\
g(x,y,z) & = & 0
\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{lll}
(1, 1, 1) & = & \lambda (2x , 2y, 2z)\\
x^2+y^2-1+z^2 & = & 0
\end{array} \right.$$

Da primeira linha do sistema obtemos $$x=y= z = \frac{1}{2 \lambda} \tag{1} $$ e substituindo na segunda linha do sistema ficamos com $$\frac{3}{4\lambda ^2} =1 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{\sqrt{3 }}{2}.$$ Portanto, substituindo este valor na relação (1), encontramos os pontos (\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) e (-\frac{\sqrt{3}}{3} , -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}) como os candidatos a extremantes locais de f.

Como f(x,y) = x+y+z é a soma das coordenadas de cada ponto, podemos concluir que  $$ f \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) < 0 < f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) .$$ Logo, (\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) será ponto de máximo e (-\frac{\sqrt{3}}{3} , -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}) será ponto de mínimo.

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