Multiplicadores de Lagrange – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Os Multiplicadores de Lagrange se aplicam em muitos casos onde temos o problema de achar os extremos de uma função apresenta-se sujeito a certas condições nas variáveis independentes, que são chamadas de vínculo e o problema correspondente é um problema de extremos condicionados.

Seja f(x,y) diferenciável no aberto A e seja B = \{ (x,y); g(x,y)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y) \neq (0,0), \forall (x,y) \in B. Uma condição necessária para que (x_0,y_0) seja extremante local de f em B é que exista um real \lambda tal que $$\nabla f(x_0, y_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0).$$

Podemos garantir, para uma função f(x,y,z) diferenciável no aberto A \in \mathbb{R} ^3 e para um conjunto B = \{ (x,y,z); g(x,y,z)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y,z) \neq (0,0,0), \forall (x,y,z) \in B, a existencia de um \lambda _0 que satisfaz a relação $$\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0,z_0)$$ para um extremante local (x_0, y_0, z_0) de f.

Multiplicadores de Lagrange – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule a distância da superfície z = x^2 + y^2 +10 ao plano 3x+2y-6z-6=0 . (Lembre-se: a distância entre duas superfícies é menor distância entre dois de seus pontos)

SOLUÇÃO: 

Neste caso usaremos os Multiplicadores de Lagrange com $$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 $$ $$g(x,y,z) = x^2 +y^2 +10-z$$ $$h(x,y,z) = 3x +2y-6z-6$$

Assim, os pontos críticos de f(x,y,z) restritos aos dois conjuntos definidos por g(x,y,z) = 0 e h(x,y,z) = 0 satisfazem a relação $$\nabla f = \lambda_1 \nabla g + \lambda_2 \nabla h $$ $$(2x,2y,2z) =  \lambda_1 (2x, 2y, -1) + \lambda_2 (3,2,-6)$$ oque nos leva a $$x = \frac{3 \lambda _2}{2-2 \lambda _1}; \qquad y = \frac{\lambda _2}{1- \lambda _1}; \qquad z = \frac{- \lambda_1 – 6\lambda _2}{2}$$ e substituindo nas equações g(x,y,z) = 0 e h(x,y,z) = 0 obtemos $$P(1/4 , 1/6, 1453/144))$$ como o ponto da superfície mais próximo do plano, o que nos dá uma distância d = \frac{1285}{168} usando fórmulas da geometria analítica.

2) Determine a reta tangente à curva x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1, x>0, y>0 que forma com os eixos um triângulo de área mínima.

Primeiramente observe que a curva é uma elipse centrada na origem e com eixo maior sobre o eixo y, queremos encontrar um triângulo como o da figura abaixo com área mínima, onde a hipotenusa é um segmento que tem na reta tangente à curva x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1, x>0, y>0 sua reta suporte.

A equação desta reta tangente numa ponto (a,b), onde a,b>0, é dada por $$ \nabla g(a,b) . [(x,y) – (a,b)] = ax+\frac{by}{4} = 1 $$ onde g(x,y) = x^2 + \dfrac{y^2}{4} - 1 .

Assim, colocando x = 0 e y=0 nesta equação, encontramos facilmente os seus pontos de interseção com os eixos coordenados: $$ C(0, 4/b); \;\;\; E (1/a , 0).$$

Com isso sabemos que a base deste triângulo tem medida 1/a e altura 4/b, o que nos leva a uma área de A= \dfrac{2}{ab} .

Nosso problema, então, consiste em minimizar esta área com a restrição $$a^2 + \frac{b^2}{4} = 1.$$

Usando os Multiplicadores de Lagrange encontramos o sistema $$-\frac{1}{a^3b} = \lambda $$ $$-\frac{4}{3b^3} = \lambda $$  $$a^2 + \frac{b^2}{4} = 1.$$.

Das duas primeiras linhas segue que b = 2a e substituindo na última equação obtemos a = \dfrac{\sqrt{2}}{2} , logo  b = \sqrt{2} e a euqação da reta que resolve o problema é igual a $$ \nabla g(a,b) . [(x,y) – (a,b)] = ax+\frac{by}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{4}y = 1 \Leftrightarrow 2x +y = 2 \sqrt{2}. $$

3) Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

Queremos minimizar a função f(x,y,z) = x+y+z sujeita à condição xyz-100 = 0 .

Usando os Multiplicadores de Lagrange, obtemos o sistema $$ \nabla f(x,y,z) = (1,1,1) = \lambda \nabla g(x,y,z) = \lambda (yz, xz, xy) .$$ Desta forma obtemos que $$x=y=z.$$ Assim, substituindo na condição xyz-100 = 0 , obtemos que x=y=z=\sqrt[3]{100} .

4) Encontre e classifique os extremantes de f(x,yz) = xyz, sujeito à condição x^2 + y^2 + z^2 =1 .

SOLUÇÃO: 

Considerando f(x,yz) = xyz e g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 e, pelos multiplicadores de Lagrange, obtemos o sistema \begin{eqnarray} \nabla f (x,y,z) & = & \lambda \nabla g (x,y,z) \\ g(x,y,z) & = & 0 \end{eqnarray} que é dado explicitamente por \begin{eqnarray} yz & = & \lambda 2 x \\ xz & = & \lambda 2 y \\ xy & = & \lambda 2 z\\ x^2 + y^2 + z^2 – 1  & = & 0 \end{eqnarray} Multiplicando as três primeiras linhas do sistema por x, y, z, respectivamente  e substituindo na quarta equação, encontramos $$ \lambda = \frac{3xyz}{2}.$$ Usando esta relação, facilmente encontramos quatorze pontos críticos: $$ \left( 0,0, \pm 1  \right), \qquad \left( 0, \pm 1 , 0  \right), \qquad \left( \pm 1 , 0, 0 \right), \qquad  \left( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} , \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \right) .$$ Os seis primeiros listados são todos pontos de sela, os demais são quatro pontos de máximo e quatro pontos de mínimo facilmente verificados substituindo cada um deles na função f(x,y,z) .

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