Multiplicadores de Lagrange | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Os Multiplicadores de Lagrange se aplicam em muitos casos onde temos o problema de achar os extremos de uma função apresenta-se sujeito a certas condições nas variáveis independentes, que são chamadas de vínculo e o problema correspondente é um problema de extremos condicionados.

Seja f(x,y) diferenciável no aberto A e seja B = \{ (x,y); g(x,y)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y) \neq (0,0), \forall (x,y) \in B. Uma condição necessária para que (x_0,y_0) seja extremante local de f em B é que exista um real \lambda tal que $$\nabla f(x_0, y_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0).$$

Podemos garantir, para uma função f(x,y,z) diferenciável no aberto A \in \mathbb{R} ^3 e para um conjunto B = \{ (x,y,z); g(x,y,z)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y,z) \neq (0,0,0), \forall (x,y,z) \in B, a existencia de um \lambda _0 que satisfaz a relação $$\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0,z_0)$$ para um extremante local (x_0, y_0, z_0) de f.

Multiplicadores de Lagrange – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Vamos determinar o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vértices jazem no elipsóide de equação $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1.$$

2) Encontre a menor distância da origem à curva y = x^3 +1 .

3) Estude, com relação a máximo e mínimo, a função f(x,y) = y + x^3 com a restrição y - x^3 = 0 .

4) Encontre o ponto da curva x y = 1, x>0, y>0 que se encontra mais próximo da origem.

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