Multiplicadores de Lagrange | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Os Multiplicadores de Lagrange se aplicam em muitos casos onde temos o problema de achar os extremos de uma função apresenta-se sujeito a certas condições nas variáveis independentes, que são chamadas de vínculo e o problema correspondente é um problema de extremos condicionados.

Seja f(x,y) diferenciável no aberto A e seja B = \{ (x,y); g(x,y)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y) \neq (0,0), \forall (x,y) \in B. Uma condição necessária para que (x_0,y_0) seja extremante local de f em B é que exista um real \lambda tal que $$\nabla f(x_0, y_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0).$$

Podemos garantir, para uma função f(x,y,z) diferenciável no aberto A \in \mathbb{R} ^3 e para um conjunto B = \{ (x,y,z); g(x,y,z)=0 \}, onde g é diferenciável e possui derivadas parcias contínuas em A e \nabla g(x,y,z) \neq (0,0,0), \forall (x,y,z) \in B, a existencia de um \lambda _0 que satisfaz a relação $$\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda _0 \nabla g(x_0, y_0,z_0)$$ para um extremante local (x_0, y_0, z_0) de f.

Multiplicadores de Lagrange – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Vamos determinar o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vértices jazem no elipsóide de equação $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1.$$

Este exercício é uma generalização do anterior.

Seja (x,y,z) o vértice do paralelepípedo no primeiro octante, de forma que suas arestas medem 2x, 2y e 2z, respectivamente, e seu volume é V = 8xyz .

Para maximizar esta função, sujeita ao elipsóide de equação $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1,$$ formamos a função $$g(x,y,z, \lambda) = 8xyz- \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} – 1 \right)$$ e igualamos a zero suas derivadas parciais em relação a x,y,z e \lambda.

Desta forma obtemos as equações $$\frac{\partial g}{\partial x} =  4yz – \frac{\lambda x}{a^2} =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial y} =4xz – \frac{\lambda y}{b^2} =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial z} = 4xy – \frac{\lambda z}{c^2} =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial \lambda} =\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} -1 = 0.$$

Para resolvê-las, multiplicamos cada uma das três primeiras equações x,y e z, respectivamente, efetuamos sua somas e usamos a última equação. Assim obtemos \lambda = 12 xyz

Substituindo este valor em $$\frac{\partial g}{\partial x} =  4yz – \frac{\lambda x}{a^2} =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial y} =4xz – \frac{\lambda y}{b^2} =0 $$ $$\frac{\partial g}{\partial z} = 4xy – \frac{\lambda z}{c^2} =0 $$ resulta em $$yz(a^2-3x^2) = 0 $$ $$xz(b^2-3y^2) = 0$$ $$xy(c^2-3z^2) = 0 .$$

Como x,y e z devem ser positivos, a solução do problema é $$x = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ $$ y = \frac{b}{\sqrt{3}}$$ $$z = \frac{c}{\sqrt{3}}$$ $$\lambda = \frac{4abc}{\sqrt{3}}.$$

Então, o paralelepípedo procurado tem arestas 2 \dfrac{a}{\sqrt{3}} 2 \dfrac{b}{\sqrt{3}} 2 \dfrac{c}{\sqrt{3}} e volume V = \dfrac{8abc}{\sqrt{3}}.

2) Encontre a menor distância da origem à curva y = x^3 +1 .

Neste caso, trata-se de minimizar a função f(x,y) = x^2+y^2 restrita a g(x,y) = y - x^3 -1 =0 .

Igualando a zero as derivadas da função $$F(x,y,z) = x^2 +y^2- \lambda(y-x^3 – 1)$$ obtemos as equações $$2x+3 \lambda x^2 = 0$$ $$2y – \lambda=0$$ $$y – x^3 = 1$$ que têm três soluções.

A primeira é x=0, y=1, \lambda = 2 que nos dá o ponto $$P_1(0,1)$$ que tem imagem f(0,1) igual a 1.

Agora, supondo x \neq 0 e fazendo \lambda = \dfrac{2}{3x} e y = \dfrac{1}{3x} em $$2x+3 \lambda x^2 = 0; \;\;\; 2y – \lambda=0; \;\;\; y – x^3 = 1$$ obtemos a equação $$h(x) = 3x^4 + 3x -1 =0$$ que possui duas soluções reais dadas aproximadamente por x_1=-\dfrac{36668215}{33554432} e x_2= \dfrac{10821779}{33554432} o que geram os pontos $$P_2 \left( -\frac{36668215}{33554432}, -\frac{33554432}{110004645} \right)$$ e $$P_3 \left( \frac{10821779}{33554432}, \frac{33554432}{32465337} \right)$$ que facilmente podemos concluir possuírem imagens f(P_2) e f(P_3) maiores do que 1.

Portanto, a menor distância da origem à curva y = x^3 +1 é igual a 1.

3) Estude, com relação a máximo e mínimo, a função f(x,y) = y + x^3 com a restrição y - x^3 = 0 .

Neste caso queremos otimizar a função f(x,y) = y + x^3 sujeita ao conjunto  B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ;  y - x^3 = 0 \}.

Desta forma, os extremantes devem satisfazer as equações $$ 3x^2 = -3 \lambda x^2 $$ $$1 = \lambda $$ $$y – x^3 = 0.$$

Porém, este sistema nos diz que \lambda = 1 e \lambda = -1 ao mesmo tempo. Ou seja, a única solução possível é quando x = 0 o que nos leva a y=0 pela restrição. Mas este ponto não é extremante de f(x,y) em B, pois f(x,y) > 0, para todo x>0 e y>0 e f(x,y) <0, para todo x<0 e y<0.

4) Encontre o ponto da curva x y = 1, x>0, y>0 que se encontra mais próximo da origem.

Queremos o mínimo de f(x,y) = x^2 + y^2 com a restrição xy . Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao sistema: $$2x = \lambda y $$ $$2y = \lambda x$$ $$xy-1 = 0.$$ Resolvendo este sistema observamos que nosso único candidato é o ponto (1,1).

Por inspeção, verifica-se que (1,1) é o ponto de mínimo. Portanto este é o ponto da curva x y = 1, x>0, y>0 que se encontra mais próximo da origem.

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