Limite de Funções de Várias Variáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar. Nesse artigo queremos apresentar uma lista de exercícios sobre o conceito de Limite para esse tipo de função. Para ler nosso artigo teórico sobre o limite para este tipo de função basta seguir este link.

1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Limite de Funções de Várias Variáveis

1. Calcule os limites abaixo:

a) lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}

$$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2}{x^2 + y^2} = lim_{t \rightarrow 0} \frac{(\alpha t)^2}{(\alpha t)^2 + (\beta t)^2} =$$ $$= lim_{t \rightarrow 0} \frac{\alpha^2}{\alpha^2 + \beta ^2} = \frac{\alpha^2}{\alpha^2 + \beta ^2}.$$

Portanto, esse limite não existe!

b) lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \dfrac{sen(x^2+y^2)}{x^2 + y^2}

$$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{sen(x^2+y^2)}{x^2 + y^2} = lim_{t \rightarrow 0} \frac{sen((\alpha t)^2+(\beta t)^2)}{(\alpha t)^2 + (\beta t)^2}$$

Pela Regra de L’Hospital, temos:

$$lim_{t \rightarrow 0} \frac{sen((\alpha t)^2+(\beta t)^2)}{(\alpha t)^2 + (\beta t)^2} =  lim_{t \rightarrow 0} \frac{2t (\alpha ^2 + \beta^2) cos(t^2(\alpha ^2 + \beta ^2))}{2t (\alpha ^2 + \beta^2)}=$$ $$=lim_{t \rightarrow 0} cos(t^2(\alpha ^2 + \beta ^2)) = 1.$$

Portanto, $$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{sen(x^2+y^2)}{x^2 + y^2} = 1.$$

Obs: Nesse item pode-se também usar o Primeiro Limite Fundamental.

2)  Verifique se os limites abaixo existem

a) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}= \lim_{(t\rightarrow 0} \frac{t^2 (\alpha ^2 + \beta ^2)}{t^2 (\alpha ^2 – \beta ^2) } = \frac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha ^2 – \beta ^2} \;\;\;não\;\;\;existe$$

b) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2\alpha t}{\sqrt{t^2 (\alpha ^2 + \beta ^2)}} = \frac{2 \alpha}{\alpha ^2 + \beta ^2} \;\;\;não\;\;\;existe$$

c) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \dfrac{x-y}{2x+y}

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x-y}{2x+y} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t( \alpha – \beta)}{t(2 \alpha + \beta)} = \frac{( \alpha – \beta)}{(2 \alpha + \beta)}\;\;\;não\;\;\;existe$$

d) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,\pi)} \dfrac{\sin{ \left(x+y\right)}}{x}

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,\pi)} \frac{\sin{ \left(x+y\right)}}{x} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin{ \left((\alpha + \beta)t + \pi\right)}}{\alpha t} = $$ $$= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ cos{ \left((\alpha + \beta)t + \pi\right)} (\alpha + \beta)}{\alpha } = -\frac{\alpha + \beta}{\alpha} \;\;\;não\;\;\;existe$$

3) Calcule os limites abaixo:

a) \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\dfrac{xy}{x^2 + y^2}}

SOLUÇÃO: Neste caso, façamos uma mudança de variável dada por $$ x= r cos( \theta)$$ $$ y= r sen( \theta)$$ obtemos $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}} = $$ $$= \lim_{(r, \theta)  \rightarrow (0, 0)}{\frac{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}{r^2}} = $$ $$= \lim_{(r, \theta)  \rightarrow (0, 0)} {cos( \theta) sen( \theta) }= cos(0)sen(0) = 0 $$

b) \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\dfrac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}}

SOLUÇÃO: Novamente, fazemos a mudança de variável $$ x= r cos( \theta)$$ $$ y= r sen( \theta)$$ o que nos leva a $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}} =$$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r}} = $$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r}} \frac{rcos( \theta) sen( \theta)}{r cos( \theta) sen( \theta)} = $$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} rcos( \theta) sen( \theta) $$

Agora, fazendo z = r^2 cos( \theta) sen( \theta) , podemos observar que: $$ (r, \theta) \rightarrow (0, 0) \Rightarrow z \rightarrow 0 . $$

Assim, pelo Primeiro Limite Fundamental,

$$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} = \lim_{z \rightarrow 0}{\frac{sen(z)}{z}} = 1. $$ Portanto,

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}} =$$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} rcos( \theta) sen( \theta) = $$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{rcos( \theta) sen( \theta)} = $$ $$ = 1 \times \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{rcos( \theta) sen( \theta)} = 0.$$

4) Investigue os limites abaixo:

a) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{x^3 - 2y^3}{2x^2 + 3y^2}}

SOLUÇÃO: 

$$ \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^3 – 2y^3}{2x^2 + 3y^2}}  = \lim\limits_{(r, \theta) \rightarrow (0,0)}{\frac{(r cos(\theta))^3 – 2(r sen(\theta))^3}{2(r cos(\theta))^2 + 3(r sen(\theta))^2}} = $$ $$ = \lim\limits_{(r, \theta) \rightarrow (0,0)}{\frac{r cos^3(\theta) – 2 r sen^3(\theta)}{2 +  sen^2(\theta)}} = \frac{0}{2} = 0 $$

b) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{1 - cos{(\sqrt{xy})}}{x}}

SOLUÇÃO: 

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{1 – cos{(\sqrt{xy})}}{x}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{1 – cos{(\sqrt{xy})}}{x} \frac{1 + cos{(\sqrt{xy})}}{1 + cos{(\sqrt{xy})}}} = $$ $$ = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{sen^2{(\sqrt{xy})}}{x} \frac{1}{1 + cos{(\sqrt{xy})}}} = $$ $$ = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{sen{(\sqrt{xy})}}{\sqrt{x} \sqrt{y}} \frac{sen{(\sqrt{xy})}}{\sqrt{x} \sqrt{y}} \frac{y}{1 + cos{(\sqrt{xy})}}} = $$ $$ = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{sen{(\sqrt{xy})}}{\sqrt{xy}} \frac{sen{(\sqrt{xy})}}{\sqrt{xy}} \frac{y}{1 + cos{(\sqrt{xy})}}} = 1 \times 1 \times \frac{0}{2} = 0.$$

5) Calcule o limites \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\dfrac{xy}{x^2 + y^2}}

SOLUÇÃO: 

Neste caso, façamos uma mudança de variável dada por $$ x= r cos( \theta)$$ $$ y= r sen( \theta)$$ obtemos $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}} = $$ $$= \lim_{(r, \theta)  \rightarrow (0, 0)}{\frac{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}{r^2}} = $$ $$= \lim_{(r, \theta)  \rightarrow (0, 0)} {cos( \theta) sen( \theta) }= cos(0)sen(0) = 0 $$

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