O que é a Inversa de uma Matriz e como calculá-la de modo fácil?

Em matemática, uma matriz inversa é uma ferramenta poderosa usada para resolver várias equações. Aprenda a calcular e interpretar uma matriz inversa com este guia completo!

Se você é um estudante ou um profissional que lida com álgebra linear, sabe que uma matriz inversa pode ser uma ferramenta inestimável. Uma matriz inversa é um tipo de matriz que, quando multiplicada pela matriz original, fornece a matriz identidade, que é uma matriz com uns ao longo de sua diagonal principal e zeros em outros lugares. Esta operação é conhecida como inversão de matrizes e é útil para resolver equações lineares.

Encontrar a inversa de uma matriz não é uma tarefa fácil. Há certas condições que precisam ser satisfeitas para que a matriz seja invertível. A condição primária é que a matriz deve ter um determinante diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não possui inversa.

Além disso, a inversão de uma matriz geralmente envolve a execução de operações de linha até que sua forma escalonada seja obtida e, em seguida, a resolução de cada coluna para obter as entradas inversas.

Lembrando que uma matriz $A$ , $m \times n$ (lê-se: $m$ por $n$ ), é uma tabela de $m \cdot n$ números dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

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Livro referência deste artigo sobre os Matrizes Inversas: “Álgebra linear”, de Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle.

A Inversa de uma Matriz

No conjunto dos números reais, para todo número diferente de zero $a$ existe um número $b$ , denominado inverso de $a$ que satisfaz: $$a.b=b.a=1,$$ que é indicado por $\dfrac{1}{a}$ ou $a^{-1}$ . No conjunto das matrizes quadradas, podemos definir um elemento com esta “característica”.

A necessidade de resolver equações matriciais do tipo $A \times X = B$ , fez com que se estendesse a teoria de inversão de números reais para as matrizes. Existem algumas formas diferentes de como encontrar a inversa de uma matriz $A$ :

Modo direto, partindo da definição;
Usando o escalonamento de matrizes espelhando as operações algébricas numa matriz identidade;
Usando a matriz cofatora e o determinante de $A$ .

Definição de Matriz Inversa: Uma matriz $A$ , quadrada de ordem $n$ , diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz $B$ , quadrada de ordem $n$ , tal que: $$A.B=B.A=Id_n.$$ A matriz $B$ é denominada inversa de $A$ e é indicada por $A^{-1}$ .

OBSERVAÇÃO:

Nenhum matriz nula é inversível;
Toda matriz identidade é inversível e igual à sua inversa;
Uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.
Por consequência da observação anterior, qualquer matriz que tiver linhas ou colunas nulas, ou linhas ou colunas múltiplas, não admitirá inversa.
Uma matriz quadrada não inversível é chamada de matriz singular.
Uma matriz de ordem 1 é sempre inversível quando sua única entrada é sempre diferente de zero. Alpem disso, se $A = [a]$ , então $A^{-1} = \left[ \dfrac{1}{a} \right]$ ;
Uma matriz diagonal é sempre inversível quando nenhum dos elementos de sua diagonal principal é igual a zero. inversa é também uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são dados pelos inversos multiplicativos dos elementos da diagonal principal da matriz original. Matricialmente, queremos dizer que se $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right] $$ então $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} \frac{1}{a_{11}} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{22} } & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{ a_{nn} }\\ \end{array} \right] $$

Propriedades da Inversa de uma Matriz

Quando duas matrizes estão envolvidas, não há muito o que fazer sobre a inversão da soma dela. A soma pode, ou não, ser inversível. Porém, algumas propriedades ainda podem ser garantidas para a inversão de matrizes:

$(A^{-1})^{-1}=A$ ;
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ;
$(A.B)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$ ;
Dada $A$ , se existir $A^{-1}$ , esta é única.
$\text{det}(A)^{-1}=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$ ;

A Matriz Inversa e a Matriz Adjunta

Dada uma matriz quadrada $A$ de ordem $n (n\geq 2)$ , denominamos menor complementar do elemento $a_{ij}$ , e o indicamos por $M_{ij}$ , o determinante da matriz quadrada de ordem $n-1$ que se obtêm suprimindo a linha $i$ e a coluna $j$ da matriz $A$ . Denominamos de cofator do elemento $a_{ij}$ e indicamos por $A_{ij}$ , o número $(-1)^{i+j}.M_{ij}$ .

É possível provar que a matriz inversa de uma matriz $A$ , caso exista, é dada por $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T}$$ onde $\text{cof} (A)$ é a matriz formada pelos co-fatores de $A$ . A matriz $\left( \text{cof} (A) \right)^{T}$ é a matriz transposta da matriz dos cofatores, também chamada de matriz adjunta.

OBSERVAÇÃO: Esta relação entre a matriz inversa e a matriz adjunta de $A$ nos diz que uma matriz quadrada só admitirá inversa se seu determinante for diferente de zero.

Como Encontrar a Inversa de uma Matriz de Ordem 2?

A inversa de uma matriz $A_{2 \times 2}$ dada por $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] $$ e que tem determinante $$ \text{det}(A) = ad – \; bc \neq 0 $$ pode ser encontrada usando a Matriz Adjunta como: $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right].$$

Uma outra forma de encontrar a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 é usando a definição. Para exemplificar, vamos, inicialmente, considerar a matriz $A = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 \\ 7 & 5 \\ \end{array} \right]$ e analisar se existe uma matriz inversa desta matriz. Considerando $A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} x & u \\ y & v \\ \end{array} \right]$ sabemos que $$ A \times A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 \\ 7 & 5 \\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cccc} x & u \\ y & v \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 3x+2y & 3u +2v \\ 7x+5y & 7u+5v \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{cccc} 3x+2y & = & 1 \\ 7x+5y & = & 0 \\ 3u+2v & = & 0 \\ 7u+5v & = & 1 \\ \end{array} \right. $$ que pode ser visto como dois sistemas lineares desacoplados dados por $$\left\{ \begin{array}{cccc} 3x+2y & = & 1 \\ 7x+5y & = & 0 \end{array} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad x=5, y = -7, $$ e $$ \left\{ \begin{array}{cccc} 3u+2v & = & 0 \\ 7u+5v & = & 1 \\ \end{array} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad u=-2, v = 3.$$ Portanto, $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} 5 & -2 \\ -7 & 3 \\ \end{array} \right] .$$ Note, também, que $A^{-1} \times A = Id_{2} .$

Como Encontrar a Inversa de uma Matriz Usando Escalonamento?

Daremos aqui um algorítmo para determinar a inversa de uma matriz quadrada.

DEFINIÇÃO: Dada uma matriz $A$ entenderemos por operações elementares com linhas de $A$ , uma qualquer das seguintes alternativas:

Permutar duas linhas de $A$ ;
Multiplicar uma linha de $A$ por um número diferente de zero;
Somar a uma linha $A$ uma outra linha de $A$ multiplicada por um número.

Se uma matriz $B$ puder ser obtida de $A$ através de um número finito destas operações, diz-se que B é equivalente $A$ e escreve-se $B \sim A$ . Para esta relação valem as propriedades reflexiva (ou seja, $A \sim A$ ), simétrica (ou seja, $A \sim B \Leftrightarrow B \sim A$ ) e transitiva (ou seja, $A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C$ ) .

TEOREMA: Uma matriz $A$ é inversível, se, e somente se, for equivalente à matriz identidade.

Uma matriz escalonada é uma matriz na forma $$ \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right] $$

TEOREMA: Se uma matriz pode ser reduzida à matriz identidade, por uma sequência de operações elementares com linhas, então $A$ é inversível e a matriz inversa de $A$ é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas.

O método para encontrar a matriz inversa de $A{n \times n}$ vem diretamente da definição que nos diz: $$A.A^{-1}=Id_n.$$ O método consiste em reduzir a matriz $A$ à matriz identidade usando operações elementares entre linhas e aplicar a mesma sequência de operações elementares numa matriz identidade, para obter $A^{-1}$ . Este método é chamado de Método de Gauss-Jordan.

EXEMPLO: Vamos encontrar a inversa da matriz $$ A = \left[\begin{array}{cccc} 2& 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 3\end{array} \right]$$

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Portanto, a matriz inversa de $A$ é dada por $$A^{-1} = \left[\begin{array}{cccc} 3& -3 & -3 & 2\\ -5 & 6 & 2 & -4\\ 4 & -5 & -4 & 3\\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array} \right]$$

EXEMPLO: Observe que a matriz $$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ \end{array} \right]$$ não admite inversa pois sua forma escalonada não gera a matriz Identidade. De fato,

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