Nesse artigo queremos apresentar uma lista de exercícios sobre cálculo de volume de sólidos utilizando a Integral Tripla. Seja T um subconjunto do \mathbb{R}^3, limitado fechado. Definimos o volume de T por $$V_{T} = \int \int\limits_{T} \int{dxdydz}.$$ Esta seria uma interpretação geométrica da integral tripla na terceira dimensão.
Cálculo de Volume com Integrais Triplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1) Utilizando Integrais Triplas estabeleça uma fórmula para o volume do cilindro com raio da base igual a a>0 e altura igual a h>0.
SOLUÇÃO: Usando coordenadas cilíndricas encontramos $$V = \int\limits_{0}^{h} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{2 \pi}{r d\theta dr dz} = 2 \pi h \int\limits_{0}^{a}{rdr} = \pi a^2 h.$$
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2) Use a integração tripla para calcular o volume dos sólidos T abaixo:
(a) T é delimitado pelos paraboloides x^2 + y^2 = z e z = 12 - x^2 - 3 y^2 .
SOLUÇÃO: 
(b) T é o elipsoide \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1
SOLUÇÃO: 
(c) T é a interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 com o paraboloide 0 \leq z \leq x^2 + y^2 .
SOLUÇÃO: R>0.
1) A primeira, construída sobre a região R’ do plano que é o anel com raio r>0 variando entre \dfrac{R}{\sqrt{2}} \leq r \leq R e com $$ 0 \leq z \leq \sqrt{R^2 – x^2 – y^2}.$$
2) A segunda, construída sobre a região R” do plano que é o círculo com raio variando entre 0 \leq r \leq \dfrac{R}{\sqrt{2}} com $$ 0 \leq z \leq x^2 + y^2.$$
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(d) T é o cone circular reto, de raio R e altura h.
SOLUÇÃO: R > 0 h > 0,
3) Calcule o volume do paralelepípedo dado por $$1 \leq x +2y+z \leq 2$$ $$0 \leq x+y -z \leq \pi /4$$ $$0 \leq z \leq 1 .$$
SOLUÇÃO:
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