Funções de Várias Variáveis | Domínio, Imagem e Gráfico

Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função $f: A \subset \mathbb{R} ^2\rightarrow \mathbb{R}$ . Uma função desta forma associa, a cada par $(x,y) \in A$ , um único número $f(x,y) \in \mathbb{R}$ . O conjunto $A$ é chamado de domínio de $f$ e será indicado por $D_f$ . O conjunto $$Im_f = \left\{ f(x,y) \in \mathbb{R}/ (x,y) \in D_f \right \}$$ é a imagem de $f$ .

Este tipo de função aparece em aplicações de diferentes áreas de conhecimento, como em circuitos elétricos, otimização de volumes e modelos econômicos.Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma $f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}$ , que associa a cada n-upla de $\mathbb{R} ^n$ um escalar.

Abaixo vamos apresentar exemplos de funções com domínio no $\mathbb{R} ^2$ simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

EXEMPLO

Considere a função $$f(x,y) = \frac{x+y}{x-y}$$

Seu gráfico pode ser dado por:

**Gráfico da função f(x,y) = (x+y)/(x-y)**

Neste caso, temos que:

$D_f= \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ; x\neq y \right\}$ é o domínio desta função, ou seja, todos os pares $(x,y)$ do $\mathbb{R} ^2$ , tais que $x \neq y$
$f(2,3)=\frac{2+3}{2-3}=-5$

EXEMPLO

Represente graficamente o domínio da função $$f(x,y) = \sqrt{y-x}+\sqrt{1-y}$$

Gráfico de sqrt(y-x)+sqrt(1-y) — Gráfico de f(x,y) = \sqrt{y-x}+\sqrt{1-y}

Temos que:

$y-x\geq 0 \Leftrightarrow y \geq x$ .
$1-y\geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq y$ .

Portanto, $D_f = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; y\geq x \;\;e\;\; y\leq 1 \right\}$ .

A representação deste domínio é dada por:

EXEMPLO

Toda função $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ da forma $$f(x,y)=ax+by$$ com $a,b \in \mathbb{R}$ é denominada função linear e, em geral, estas funções determinam planos.

EXEMPLO

Represente graficamente o domínio da função $w=f(u,v)$ , dada por $$u^2 + v^2 +w^2=1,\;\;\;w\geq 0$$

Temos que,

$$u^2 + v^2 +w^2=1,\;\;\;w\geq 0 \Rightarrow w = \sqrt{1-u^2-v^2}.$$

Assim, nossa função é dada por $$w = \sqrt{1-u^2-v^2}.$$

Logo, para que $w$ esteja bem definida precisamos que $$1-u^2-v^2 \geq 0 \Rightarrow u^2+v^2\leq 1$$

**Representação gráfica do domínio da função w=f(u,v), dada implicitamente por u²+v²+w² = 1**

Ou seja, o domínio de $w=f(u,v)$ é dado por $$ D(f) = \{ (u,v) \in \mathbb{R} ^2 |\;\;\; u^2+v^2\leq 1 \},$$ enquanto a imagem desta função é dada por $$ Im(f) = \left\{ z \in \mathbb{R} |\;\;\; 0 \leq z \leq 1 \right\} .$$

EXEMPLO

Represente graficamente o domínio das funções:

a) $f(x,y) = \sqrt{1-x-y}$

$1-x-y \geq \Rightarrow x+y \leq 1 \Rightarrow y \leq 1-x$

Desta forma, temos a região do plano abaixo da reta $y=1-x$ dada por

b) $f(x,y) = \ln{(x-y)}$

$x-y>0 \Rightarrow x>y$

Desta forma, temos a região do plano abaixo da reta $y=x$ dada por

c) $z=f(x,y)$ tal que $4x^2 + y^2 + z^2 = 1\;\;\;z \leq 0$

Nesse caso, $z=\sqrt{1-4x^2-y^2}$ .

Assim, $1-4x^2-y^2 \geq 0 \Rightarrow 4x^2-y^2 \leq 1$

Desta forma, temos a região do plano exterior à hipérbole de eixo real sobre o eixo $x$ e centrada na origem:

Gráfico de uma Função de Várias Variáveis

Seja $z=f(x,y)$ , com $(x,y) \in A$ , uma função real de duas variáveis reais.

O conjunto $$G_f=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3 / z=f(x,y),\;\;\; (x,y) \in A \right\}$$ denomina-se gráfico de $f$ .

EXEMPLO

O gráfico da função constante $f(x,y) = k$ é um plano paralelo ao plano $xy$ .

EXEMPLO

Considere a função $z=f(x,y)$ tal que $x^2+y^2+z^2 = 4$ .

O gráfico desta equação é dada por $$G_f (z)= \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3 / z = \sqrt{4-x^2-y^2} \right\}.$$

Abaixo, cada superfície, respectivamente, representa uma das funções $$z_1 = \sqrt{4 – x^2-y^2 } \;\;\; (roxa)$$ e $$z_2 = – \sqrt{4 – x^2-y^2 } \;\;\; (verde)$$

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EXEMPLO

Abaixo apresentamos os gráficos de algumas funções que julgamos interessantes:

a) Observe que $x+2y+3z = 3$ é a equação de um plano inclinado que corta os eixos coordenados em $x = 3$ , $y = 3/2$ e $z = 1.$ Esta equação pode ser escrita como uma função de duas variáveis $z = f(x,y)$ , dada por $$f(x,y) = \frac{1}{3} (3-x-2y).$$