Função Gama | Fatorial Generalizado e Gama Incompleta

A função Gama é importante em matemática pura e aplicada, ciência e engenharia, incluindo aplicações que envolvem a condução de calor em lasers e tecidos humanos. Em estatística, a função gama é utilizada para calcular a função de densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada da distribuição gama, que pode ser usada para descrever os dados positivamente assimétricos.

As funções Gama, Gama incompleta e logaritmo natural gama estendem a generalizam a função fatorial f(n) = n! , para que “fatoriais” possam ser calculadas para as números irracionais e frações.

Em aplicações computacionais a função logaritmo natural gama às vezes é usada, pois apresenta menos probabilidade de gerar números grandes que possam ser maiores do que a capacidade de armazenamento, gerando menos custo computacional.

A Definição da Função Gama

A definição de Euler para a função Gama, definida por ele em seu texto “Instituitiones Calculi Integralis”, publicado em 1768, é dada por $$ \Gamma (x) = \int_{0}^{ \infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}.$$ A convergência desta integral requer x-1 > -1 , ou seja, x >0 .

A relação de recorrência $$\Gamma (x+1) = x \Gamma (x),$$ pode ser obtida à partir à partir desta definição usando a técnica de integração por partes.

Embora a a condição de convergência diga o contrário, e a integral que define a função gama não convirja para x < 0 , é possível mostrar através de definições alternativas que a função gama é definida para todos os valores reais e complexos, exceto para os inteiros não-positivos.

Desta forma, a relação de recorrência $$\Gamma (x+1) = x \Gamma (x)$$ é válida todo x \neq - n , sendo n = 0, 1, 2, 3, 4, … .

Sendo assim, \Gamma (x) é considerada uma função real e seu gráfico é dado abaixo. Observe que todos os inteiros não positivos determinam assíntotas verticais no gráfico da função gama.

O Fatorial Generalizado

Quando x= 1 , temos $$ \Gamma (1) = \int_{0}^{ \infty}{e^{-t} dt}.= 1$$ e pela fórmula de recorrência acima $$ \Gamma (2) = 1 \Gamma (1) = 1$$ $$ \Gamma (3) = 2 \Gamma (2) = 2 \times 1$$ $$ \Gamma (4) = 3 \Gamma (3) = 3 \times 2 \times 1$$ e assim por diante. Desta maneira, vemos que quando n é número inteiro positivo, $$ \Gamma (n) = n! $$

Por esta razão, a função Gama é frequentemente chamada de fatorial generalizado.

Assim, a função gama nada mais é do que uma extensão do nosso já conhecido fatorial, dado através da definição abaixo:

DEFINIÇÃO:

Para todo real \alpha > -1 definimos o fatorial de \alpha por $$ \alpha ! = \Gamma (\alpha +1) . $$

Abaixo, construímos uma tabela com o auxílio do software xMaxima:

A Função Gama Incompleta

A função Gama incompleta, \gamma , é uma variação da função gama completa definida por uma integral com um limite superior finito, e não infinito. Para um dado número a e um limite superior x ,

$$ \gamma (x,a) = \int_{0}^{ x}{t^{a-1}e^{-t} dt}.$$

A Função Logaritmo Natural Gama

Por sua vez, a função logaritmo natural gama,  \ln \left( \Gamma (z) \right) é o logaritmo natural da função gama completa, ou seja,

$$\ln \left( \Gamma (x) \right) = \ln  \left( \int_{0}^{ \infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} \right).$$

sendo uma função convexa definida apenas para números positivos.

Fórmula Assintótica para a Função Gama

Se n é grande, são evidentes as dificuldades inerentes ao cálculo de \Gamma (n) . A relação a seguir constitui um resultado útil em tais casos: $$ \Gamma (n+1) = \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n} e^{\frac{ \theta }{12(n+1)}} \qquad 0 < \theta < 1 .$$ Para quase todos os fins práticos, podemos omitir o último fator, que é muito próximo de 1. Se n é inteiro, podemos escrever $$ n!  \approx \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}$$ que é por vezes denominada aproximação fatorial de Stirling (ou fórmula assintótica) para n! .

Lista de Exercícios Resolvidos Sobre a Função Gama

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