Estudo do Plano: Equações Geral e Vetorial – Geometria Analítica Espacial

Descubra o fascinante mundo da matemática tridimensional desvendando a Equação Geral do Plano. Embarque nesta jornada matemática para entender como pontos, vetores e equações se entrelaçam, revelando os segredos dos planos no espaço. Prepare-se para uma viagem intelectual única!

Você já se perguntou como os matemáticos descrevem os planos no espaço tridimensional? Prepare-se para desvendar a intrigante Equação Geral do Plano, um conceito fundamental da geometria. Neste artigo, exploraremos os fundamentos matemáticos por trás dessa equação, compreendendo sua aplicação em situações do mundo real e desmistificando seu complexo significado. Vamos além das fórmulas, tornando a matemática acessível e intrigante para todos!

A Equação Geral do Plano é a chave para entender como um ponto pertencente a um plano está relacionado a um vetor normal ortogonal a esse plano. Exploraremos essa relação matemática essencial, revelando como a equação se traduz em pontos específicos no espaço tridimensional.

Além de apresentar a fórmula, é crucial compreender algumas observações fundamentais sobre a Equação Geral do Plano. Por exemplo, um vetor ortogonal ao plano é vital, e qualquer múltiplo não nulo desse vetor também serve como vetor normal. Investigaremos como essas nuances matemáticas influenciam a representação do plano no espaço.

A determinação de um plano pode ocorrer de várias maneiras, desde um ponto e um vetor normal até situações mais complexas envolvendo três pontos não colineares. Exploraremos seis casos distintos, apresentando como cada abordagem contribui para a compreensão matemática dos planos no espaço tridimensional.

A Equação Geral do Plano

Seja A(x_1 , y_1 , z_1 ) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{n} = (a,b,c) \neq (0,0,0) um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano \pi pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor \vec{AP} é ortogonal a \vec{n} . O ponto P pertence a \pi se, e somente se $$  \vec{n} \cdot \vec{AP} = 0

Tendo em vista que $$ \vec{n} \cdot \vec{AP} = 0 \Rightarrow a(x – x_1 ) + b (y – y_1 ) + c (z – z_1) = 0 \Rightarrow ax + by +cz + (-ax_1 – by_1 -c z_1) = 0$$ Escrevendo $$ d = -ax_1 – by_1 -c z_1$$ temos como a equação geral do plano $$ \pi : ax+by+cz+d = 0 .$$

OBSERVAÇÕES: 

1. Da forma com que definimos o plano \pi , vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal \vec{n} = (a,b,c) a \pi , com a,b e c não simultaneamente nulos. Qualquer vetor k \vec{n} com k \neq 0 , é também vetor normal ao plano.
2. Sendo \vec{n} um vetor ortogonal ao plano \pi , ele será ortogoanl a qualquer vetor representado neste plano. Em particuar, se \vec{v_1} e \vec{v_2} são vetores não colineares, e paralelos ao plano, em virtude de \vec{n} ser ortogonal, ao mesmo tempo, a \vec{v_1} e \vec{v_2} , como na figura abaixo, tem se $$ \vec{n} = \vec{v_1} \wedge \vec{v_2}.$$
3. É importante observar que os três coeficientes  a, b e c da equação $$ax+by+cz+d=0 $$ representam as componentes de um vetor normal ao plano.

EXEMPLO: Vamos determinar a equação geral do plano \pi que passa pelo ponto A(2,-1,3) sendo \vec{n} = (3,2,-4) um vetor normal a \pi .  Como \vec{n} = (3,2,-4) é normal ao plano, sua equação geral será dada por $$ 3x +2y -4y +d = 0.$$ Substituindo o ponto A(2,-1,3) nesta equação encontramos $$ 3 \times 2 + 2 \times (-1) + (-4) \times (3) + d = 0 \Leftrightarrow d = 8.$$ Portanto, a equação deste plano é $$ 3x +2y -4y + 8 = 0.$$

EXEMPLO: Vamos determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2) e é perpendicular à reta $$r: \left\{ \begin{array}{l} x = -4 +3t \\ y = 1+2t \\ z= t \end{array} \right. $$ Um vetor normal a este plano é o próprio vetor diretor \vec{n} = (3,2,1) desta reta. Então, a equação do plano \pi será dada por $$ 3(x-2)+2(y-1)+1(z+2) = 0 \Leftrightarrow 3x+2y+z-6 = 0.$$

OBSERVAÇÃO: Para obter pontos de um plano basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular a outra variável na equação dada.

Determinação de um Plano

Nos seis casos apresentados abaixo de determinação de um plano, um vetor normal \vec{n} sempre é dado pelo produto  vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base ou vetores diretores do plano.

Um plano pode ser determinado da seguinte forma:

1. Um ponto e um vetor normal como fizemos anteriormente;
2. passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores \vec{v_1} e \vec{v_2} não colineares. Neste caso, $$ \vec{n} = \vec{v_1}  \wedge \vec{v_2} :$$
3. passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor \vec{v} não colinear ao vetor \vec{AB} . Neste caso, $$ \vec{n} = \vec{v}  \wedge \vec{AB} :$$
4. passa por três pontos  A, B e C não colineares. Neste caso, $$ \vec{n} = \vec{AB}  \wedge \vec{AC} :$$
5. contém duas retas r_1 e r_2 concorrentes. Neste caso, sendo \vec{v_1} e  \vec{v_2} os vetores diretores de  r_1 e r_2 , então $$ \vec{n} = \vec{v_1}  \wedge \vec{v_2} :$$
6. contém duas retas  r_1 e r_2 paralelas. Neste caso, sendo \vec{v_1} os vetores diretores de r_1 ou r_2 , e A_1 \in r_1 e A_2 \in r_2 , então $$ \vec{n} = \vec{v_1}  \wedge \vec{A_1 A_2} :$$
7. contém uma reta r e um ponto B \notin r . Neste caso, sendo \vec{v} os vetores diretores de r   e  A \in r , então $$ \vec{n} = \vec{v}  \wedge \vec{AB} :$$

EXEMPLO: Vamos determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1,-3,4) e é paralelo aos vetores \vec{v_1} = (3,1,-2) e \vec{v_2} = (1,-1,1) . Neste caso, o vetor normal ao plano é determinado por $$ \vec{n} = \vec{v_1}  \wedge \vec{v_2} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ 3 & 1 & -2\\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right| = (-1,5,-4)$$ Então, a equação geral do plano é dada por $$ -1 (x-1)-5(y+3)-4(z-4) = 0 \Leftrightarrow -x-5y-4z+1-15+16 = 0 \Leftrightarrow x +5y +4z – 2= 0.$$

EXEMPLO: Considerando os pontos A(2,1,-1) , B(0,-1,1) e C(1,2,1) , vamos determinar a equação do plano que passa por estes três pontos. O vetor normal a este plano será dado por $$ \vec{n} = \vec{AB}  \wedge \vec{AC}.$$ Como $$ \vec{AB} = B – A = (-2,-2,2) \qquad \vec{AC} = C – A = (-1,1,2), $$ então $$ \vec{n} = \vec{AB}  \wedge \vec{AC} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ -2 & -2 & 2\\ -1 & 1 & 2 \end{array} \right| = (-6,2,-4). $$ Então, a equação geral do plano é $$-6(x-2)+2(y-1)-4(z+1) = 0 \Leftrightarrow -6x+2y-4z+6 = 0 \Leftrightarrow 3x – y +2z -3 = 0.$$

Equações Paramétricas do Plano

Seja A(x_1 , y_1 , z_1 ) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{u} = (a_1 ,b_1 ,c_1 )  e \vec{v} = (a_2 ,b_2 ,c_2 )  dois vetores não colineares. Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano \pi   que passa por A e é paralelo aos vetores \vec{u} e \vec{v}  , se, e somente se, existem números reais h e t , tais que $$ \vec{AP} = h \vec{u} + t \vec{v} $$ $$ (x-x_0 , y-y_0 , z-z_0 ) = h(a_1 , b_1 , c_1 ) + t (a_2 , b_2 , c_2 )$$ donde $$ \left\{ \begin{array}{lll} x = x_0 + a_1 h + a_2 t \\ y = y_0 + b_1 h + b_2 t \\ z = z_0 + c_1 h + c_2 t \end{array} \right.$$ Estas são as equaçções paramétricas do plano. Quando h e t  , denominados parâmetros, variam de - \infty a + \infty , o ponto P percorre o plano \pi .

EXEMPLO: As equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2,1,3) e é paralelo aos vetores \vec{u} = (-3,-3,1 )  e \vec{v} = (2,1,-2)  , são $$ \left\{ \begin{array}{lll} x = 2 -3 h +2 t \\ y = 1 -3 h + t \\ z = 3 + h -2 t \end{array} \right.$$

EXEMPLO: Vamos escrever as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(5,7,-2) , B(8,2,-3) e C(1,2,4) . Sabe-se que estes três pontos não colineares determinam um plano. Neste caso, faremos $$ \vec{u} = \vec{AB} = (3,-5,-1) \qquad \vec{v} = \vec{AC} = (-4,-5,6).$$ Logo, as equações paramétricas (utilizando o ponto A ) do plano são: $$ \left\{ \begin{array}{lll} x = 5 +3 h -4 t \\ y = 7 -5 h – 5t \\ z = -2 – h +6 t \end{array} \right.$$

Conclusão

Neste intrigante mergulho na matemática tridimensional, exploramos desde a Equação Geral do Plano até as equações paramétricas, desmistificando conceitos complexos. A compreensão dessas fórmulas não apenas amplia nosso conhecimento matemático, mas também destaca a beleza e a aplicação prática da geometria no mundo real.

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