Resolvendo Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Separáveis

Aprenda a resolver equações diferenciais separáveis com este guia passo a passo! Você encontrará uma visão geral dos fundamentos e exemplos para ajudá-lo a dominar o conceito.

Nesse artigo, queremos desenvolver conceitos teóricos e mostrar exercícios resolvidos das EDO’s de primeira ordem separáveis. As equações diferenciais separáveis são um caso especial de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas reorganizando e integrando ambos os lados. Neste guia, você aprenderá os fundamentos das equações diferenciais separáveis e trabalhará com exemplos para entender como resolvê-los.

Compreenda a definição e as propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Separáveis

Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por $$ \frac{dy}{dt}= f\left(t,y \right) $$ onde f é uma função nas variáveis t e y. Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação.

Em outras palavras, os termos de uma uma equação diferencial ordinária separável de primeira ordem  são multiplicados em vez de adicionados ou subtraídos. Esse tipo de equação pode ser separado escrevendo ambos os lados como um produto e extraído de forma que um lado contenha apenas t e suas derivadas, enquanto o outro lado contenha apenas y e suas derivadas.

O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida. Agora, vamos estudar um tipo específico de EDOs de primeira ordem: as EDOs de 1ª Ordem Separáveis.

Como resolver equações diferenciais ordinárias separáveis de primeira ordem

Uma EDO de primeira ordem que pode ser escrita na forma $$ \frac{dy}{dt}=\frac{g(t)}{f(y)} $$ onde g e f são contínuas nas variáveis t e y, respectivamente, é chamada de EDO separável.

As E.D.O.’s separáveis de primeira ordem mais simples que temos seriam da forma
$$ \frac{dy}{dt}=f(t) $$ onde f é uma função integrável na variável t. Essa equação é facilmente resolvida utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e sua solução seria $$ y(t)=\int{f(t)}dt+C. $$
onde C representa um constante de integração arbitrária e \int{f(t)}dt é a primitiva de f(t).

No caso geral da EDO separável, podemos escrevê-la como $$ \frac{dy}{dt}=\frac{g(t)}{f(y)} \Leftrightarrow f(y) \frac{dy}{dt} = g(t).$$ Supondo que y = h(t) é uma solução para a EDO separável, temos que, pela integração por substituição, $$ f(h(t))h'(t) = g(t) \Leftrightarrow \int{f(h(t)) h'(t) dt} = \int{g(t)dt} +c \Leftrightarrow \int{f(y) dy} = \int{g(t)dt} +c $$

MÉTODO DE SOLUÇÃO PARA E.D.O.’S SEPARÁVEIS DE 1ª ORDEM:

A equação acima indica o procedimento na resolução para as equações diferenciais separáveis. Uma família a um parâmetro de soluções, em geral deduzida implicitamente, é obtida integrando ambos os lados de f(y) dy = g(t) dt .

Uma observação importante é quanto ao fato de não ser necessário tentar resolver y como função de t, ou seja, não é necessário, à priori, apresentar uma solução explícita do problema.

Com iremos ver mais a frente, este método possui alguns entraves para ser aplicado na maioria das EDOs de primeira ordem e precisaremos de outras técnicas nestes casos.

Mas, por ora, vamos a alguns exercícios ilustrativos.

Resolvendo equações diferenciais separáveis na prática

Aprender a fórmula é um ótimo começo, mas nada supera a prática quando se trata de dominar equações diferenciais separáveis. É por isso que você deve sempre começar resolvendo alguns exemplos de problemas! Isso ajudará na sua compreensão de como equações diferenciais separáveis são resolvidas e você terá uma ideia melhor de todo o processo.

EXEMPLO 1: Encontre a solução da equação diferencial \dfrac{dy}{dt}=t\cos t^2.

Pela abordagem acima e o método da substituição para integrais a solução desta EDO é (fazendo u=t^2 temos dt=2t): $$ y(t) = \int{t\cos t^2}dt+C \ \\ = \int{\cos u }du+C = \\ = \sin u +C = \\ = \sin \left(t^2 \right)$$ Assim, y(t) = \sin{t^2} é solução deste EDO.

EXEMPLO 2: Considere a equação $$ \frac{dy}{dt} = \frac{t^2}{y^2} $$ que é claramente separável.

Podemos encontrar a sua solução da seguinte forma: $$ \frac{dy}{dt} = \frac{t^2}{y^2} $$
$$y^2 \frac{dy}{dt} = t^2$$ $$ \frac{d}{dt}\left( \frac{y^3 (t)}{3} \right) = t^2 $$ $$ \frac{y^3 (t)}{3} = \frac{t^3}{3} + C $$ $$ y(t) = \sqrt[3]{t^3 +C} $$

EXEMPLO 3: Considere a equação $$ \frac{dy}{dt}=\frac{t^2}{1-y^2}. $$

Neste caso, $$\frac{dy}{dt} = \frac{t^2}{1-y^2} $$ $$ (1-y^2) \frac{dy}{dt} = t^2$$ $$ \frac{d}{dt}\left( y(t) – \frac{y^3 (t)}{3} \right) = t^2$$ $$ y(t) – \frac{y^3 (t)}{3} = \frac{t^3}{3} + C$$ $$ 3y(t)-y^3(t)-t^3 = C $$ é a solução da EDO separável \frac{dy}{dt}=\frac{t^2}{1-y^2}. Esta solução está descrita na forma implícita.

EXEMPLO 4: Considere o PVI $$\frac{dy}{dt}=\frac{3t^2+4t+2}{2(y-1)},\;\;\;\;y(0)=-1.$$

Desta forma, $$ \frac{dy}{dt} = \frac{3t^2+4t+2}{2(y-1)} $$ $$ (2(y-1)) \frac{dy}{dt} = 3t^2+4t+2$$ $$ \frac{d}{dt}\left( y(t)^2 -2y(t) \right) = 3t^2+4t+2$$ $$ y(t)^2 -2y(t) = t^3 + 2t^2 + 2t+c  $$ Pela condição inicial y(0)=-1, temos que 1 +2 = 0 + 0 + 0+c \Rightarrow c=3. Assim, $$y(t)^2 -2y(t) = t^3 + 2t^2 + 2t+3$$ é solução do PVI do exemplo.

Pela fórmula de Báskara temos que $$y(t)=\frac{2 \pm \sqrt{4+4(t^3 + 2t^2 + 2t+3)}}{2} =1 \pm \sqrt{t^3 + 2t^2 + 2t+4}.$$ Existem duas soluções, mas apenas uma satisfaz a condição inicial, que é $$y(t)= 1 – \sqrt{t^3 + 2t^2 + 2t+4}.$$ O intervalo de t para o qual esta solução é válida é tal que t^3 + 2t^2 + 2t+4 \geq 0. A única raiz rela desta equação é t=-2. Se t \geq -2 então t^3 + 2t^2 + 2t+4 \geq 0.

Assim, a solução deste PVI enunciada de forma completa é $$y(t)= 1 – \sqrt{t^3 + 2t^2 + 2t+4},\;\;\;\;\;t\geq -2.$$

EXERCÍCIO 5: Vamos solucionar a equação $$ \frac{dy}{dt}=\frac{4t-t^3}{4+y^3}$$ e encontrar a solução que passa pelo ponto (0,1).

Solução: $$ \frac{dy}{dt} = \frac{4t-t^3}{4+y^3}$$ $$ (4+y^3)\frac{dy}{dt} = 4t-t^3$$ $$ \frac{d}{dt}\left( \frac{y^4(t)}{4}+4y(t) \right) = 4t-t^3$$ $$ \frac{y^4(t)}{4}+4y(t) = 2t^2 -\frac{t^4}{4} +C$$ $$ y^4(t)+16y(t)-8t^2+t^4 = C$$

Pratique a solução de equações diferenciais separáveis com as listas de exercícios abaixo:

• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Livros indicados para o estudo das equações diferenciais separáveis:

Abaixo seguem os livros que te permitirão aprofundar os fundamentos e exemplos para dominar o conceito das equações diferenciais ordinárias separáveis. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado para a página do livro.

1. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
2. BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
3. BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
4. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

Assista nossa vídeo-aula sobre equações diferenciais separáveis

Leia Mais:

• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem.
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Exatas.
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem: Ricatti e Bernoulli
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem: Substituições