Equação do Calor Numa Haste Semi-Infinita | Integral de Fourier

O problema de determinar a solução da equação do calor numa haste semi-infinita é dado por: Uma barra delgada semi-infinita cuja superfície é isolada, tem temperatura inicial igual a f(x). Em dado instante, aplica-se à extremidade x =0 um temperatura zero, que é então mantida. Queremos solucionar o problema de contorno para a temperatura u(x,t) num ponto x no instante t.

Este será, matematicamente, um problema de contorno é dado por $$k\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t},\;\;\;\;\; x >0, \;\;\;\;\;t>0,$$ sujeita a $$u(x,0) = f(x), \qquad u(0,t) = 0 , \qquad | u(x,t) | \leq M $$ onde a última condição decorre do fato de a temperatura ser limitada, por motivos físicos.

Como Saber Qual Método Usar Neste Caso?

As séries, integrais e transformadas de Fourier podem ser utilizadas para resolver vários problemas de contorno que acorrem na ciência e na engenharia. Uma pergunta natural é: Como podemos saber qual das ferramentas de Fourier utilizar? A resposta não é tão simples, mas poderia ser dada da seguinte maneira:

1) As séries de Fourier são aplicada a problemas que envolvem o domínio de variável entre [0,L];

2) As transformadas de Fourier são aplicadas em problemas onde a variável a ser transformada possui domínio dado por (- \infty , \infty) ;

3) Para aplicarmos uma transformada seno ou cosseno, o domínio de ao menos uma das variáveis no problema deve ser [0 , \infty) . Porém, o fator determinante na escolha entre a transformada seno e a transformada cosseno é o tipo de condição de contorno especificada em zero.

Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Numa Haste Semi-Infinita Usando a Integral de Fourier

Observando as condições e o problema em si, vamos usar a Integral de Fourier para resolver o problema de determinar a solução da equação do calor numa haste semi-infinita. Ou seja, usaremos a Integral de Fourier para resolver $$k\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t},\;\;\;\;\; x >0, \;\;\;\;\;t>0,$$ sujeito a $$u(x,0) = f(x), \qquad u(0,t) = 0 , \qquad | u(x,t) | \leq M .$$

Usando o método da separação das variáveis, de forma análoga ao que fizemos neste artigo, obtém-se como solução $$u(x,t) = e^{-k \lambda ^2 t} \left( A cos( \lambda x) + B sen( \lambda x) \right) .$$ Da condição u(0,t) = 0 , obtemos A = 0 , de modo que $$u(x,t) = B e^{-k \lambda ^2 t} B sen( \lambda x) .$$

Como não há restrições quanto a \lambda podemos substituir B nesta solução por uma função B( \lambda) e ter ainda uma solução. Além disso, podemos integrar sobre \lambda de 0 a \infty e ainda obter uma solução. Tal processo é análogo ao teorema da superposição para valores discretos de \lambda utilizado nas séries de Fourier. Chegamos assim à solução possível $$ u(x, t) = \int \limits_{0}^{\infty}{B( \lambda ) e^{-k \lambda ^2 t} sen( \lambda x) } d \lambda.$$

Pela condição u(x,0) = f(x) obtemos $$ f(x) = \int \limits_{0}^{\infty}{B( \lambda ) sen( \lambda x) } d \lambda$$ que é uma equação integral para a determinação de B( \lambda ) . Podemos ver que como f(x) deve ser uma função ímpar, se tem $$ B( \lambda ) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty}{f(x) sen( \lambda x) } d x = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty}{f(v) sen( \lambda v) } d v$$

Levando este resultado na solução do problema, encontramos $$u(x, t) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty} {\int\limits_{0}^{\infty}{f(v)  e^{-k \lambda ^2 t}  sen( \lambda x)  sen( \lambda v)  d \lambda} dv}.$$

Usando uma propriedade trigonométrica (item 1) das relações entre seno e cosseno deste artigo) percebemos que $$ sen( \lambda x)  sen( \lambda v) = \frac{1}{2} \left[ cos( \lambda [v-x]) – cos( \lambda [v+x]) \right]$$ o que nos leva a escrever $$u(x, t) = \frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty} {\int\limits_{0}^{\infty}{f(v)  e^{-k \lambda ^2 t}  \left[ cos( \lambda [v-x]) – cos( \lambda [v+x]) \right] d \lambda} dv}=$$ $$ = \frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\infty} { f(v) \left[ \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-k \lambda ^2 t} cos( \lambda [v-x]) d \lambda} – \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-k \lambda ^2 t} cos( \lambda [v+x]) d \lambda} \right] dv} $$

Da integral $$ \int_{0}^{ \infty}{e^{-\alpha \lambda ^2} cos ( \beta \lambda ) d \lambda}= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-\beta ^2/4 \alpha},$$ que calculamos no exercício 5 deste artigo, decorre $$u(x, t) = \frac{1}{2 \sqrt{ \pi k t }} \left[ \int \limits_{0}^{\infty}{f(v)  e^{- (v – x)^2 / 4 k t } dv} – \int \limits_{0}^{\infty}{f(v)  e^{- (v + x)^2 / 4 k t } dv} \right]$$ fazendo \dfrac{(v-x)}{2 \sqrt{kt} } = w na primeira integral e \dfrac{(v+x)}{2 \sqrt{kt} } = w na segunda integral, obtemos $$u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \left[ \int \limits_{-\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}^{\infty}{f(2w \sqrt{kt} + x )  e^{-w^2} dw} – \int \limits_{\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}^{\infty}{f(2w \sqrt{kt} – x)  e^{- w^2 } dw} \right]$$

Exemplo:

No caso da temperatura inicial f(x) ser uma constante, u_0 , mostre que $$u(x, t) =  u_0 erf \left( \frac{x}{2 \sqrt{kt} } \right),$$ onde erf(x) é a função erro.

Usando o resultado do exercício anterior, ao fazermos f(x,t) = u_0 , obtemos $$u(x, t) = \frac{u_0}{\sqrt{ \pi }} \left[ \int \limits_{-\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}^{\infty}{e^{-w^2} dw} – \int \limits_{\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}^{\infty}{e^{- w^2 } dw} \right] = $$ $$ = \frac{u_0}{\sqrt{ \pi }}\int \limits_{-\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}^{\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}{e^{-w^2} dw} = \frac{2 u_0}{\sqrt{ \pi }}\int \limits_{0}^{\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}{e^{-w^2} dw}.$$

Lembrando que, como definimos no artigo sobre a Função Erro, ela é denotada por erf(x) , é $$ erf(x) = \frac{2}{\sqrt{ \pi }} \int_{0}^{x}{e^{-u^2} du}, $$ então, obtemos como solução deste problema a relação

$$u(x, t) =  \frac{2 u_0}{\sqrt{ \pi }}\int \limits_{0}^{\frac{x}{2 \sqrt{kt} }}{e^{-w^2} dw} = u_0 erf \left( \frac{x}{2 \sqrt{kt} } \right).$$

Leia Mais:

• Equação do Calor Numa Haste Infinita | Transformada de Fourier
• Equação do Calor Unidimensional numa Haste Finita | Séries de Fourier
• A Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita
• A Equação da Corda Vibrante ou da Onda Unidimensional

Assista Nossa Vídeo-Aula da Solução da Equação do Calor Numa Haste Semi-Infinita