Resolvendo A Equação do Calor Numa Chapa Semi-Infinita

Queremos resolver o problema da temperatura de estado estacionário em uma chapa semi-infinita determinada por $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = 0; \qquad 0<x< \pi, \qquad y>0,$$ $$u(0,y)= u( \pi, y) = e^{-y}, \qquad y>0$$ $$ \frac{\partial u}{\partial y } (x,0) = 0, \qquad 0<x<  \pi. $$

Como Saber Qual Método Usar Neste Caso?

As séries, integrais e transformadas de Fourier podem ser utilizadas para resolver vários problemas de contorno que acorrem na ciência e na engenharia. Uma pergunta natural é: Como podemos saber qual das ferramentas de Fourier utilizar? A resposta não é tão simples, mas poderia ser dada da seguinte maneira:

1) As séries de Fourier são aplicada a problemas que envolvem o domínio de variável entre [0,L];

2) As transformadas de Fourier são aplicadas em problemas onde a variável a ser transformada possui domínio dado por (- \infty , \infty) ;

3) Para aplicarmos uma transformada seno ou cosseno, o domínio de ao menos uma das variáveis no problema deve ser [0 , \infty) . Porém, o fator determinante na escolha entre a transformada seno e a transformada cosseno é o tipo de condição de contorno especificada em zero.

Resolvendo A Equação do Calor Numa Chapa Semi-Infinita Usando a Transformada Cosseno de Fourier

Neste caso, vamos determinar u(x,y) usando a Transformada Cosseno de Fourier.  Definimos $$ \mathscr{F}_{c}\left\{ u(x,y) \right\} = \int\limits_{0}^{\infty}{u(x,y)cos( \alpha y) dy } = U(x, \alpha ).$$ Desta forma, $$ \mathscr{F}_{c}\left\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} \right\} + \mathscr{F}_{c}\left\{ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right\} = 0$$ que se torna $$\frac{d^2 U}{d x^2} – \alpha U(x, \alpha) = 0.$$

Como o domínio de x é um intervalo infinito, escrevemos a solução da equação diferencial ordinária como $$U(x, \alpha) = c_1 cosh(\alpha x) + c_2 senh(\alpha x) .$$ Mas $$ \mathscr{F}_{c}\left\{ u(0,y) \right\} =  \mathscr{F}_{c}\left\{ 0 \right\}, \;\;e\;\; \mathscr{F}_{c}\left\{ u(\pi,y) \right\} = \mathscr{F}_{c}\left\{ e^{-y} \right\}$$ são equivalentes a $$U(0, \alpha) = 0 \;\;\;e\;\;\; U( \pi, \alpha) = \frac{1}{1+ \alpha ^2} .$$

Aplicando estas últimas à solução encontrada, obtemos c_1 = 0 e c_2 = \dfrac{1}{[1+ \alpha ^2]senh( \alpha \pi)}. Portanto, $$U(x, \alpha) = \frac{senh( \alpha \pi)}{[1+ \alpha ^2]senh( \alpha \pi)}, $$ e assim, chegamos a $$ u(x,y) = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{senh( \alpha \pi)}{[1+ \alpha ^2]senh( \alpha \pi)} cos( \alpha y ) d \alpha} .$$

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