Neste artigo temos mais 5 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem solucionadas via Transformada de Laplace. Uma delas tem coeficientes variáveis!
Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.
Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f') = s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'') = s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) + s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) + s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.
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Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 12ª Lista de Exercícios
1) Resolva as E.D.O.’s abaixo usando a Transformada de Laplace:
a) y'' -6y'+9y = t, com y(0) = 0 e y'(0)=0.
SOLUÇÃO:
b) y''-5y'+6y = u(t-1), com y(0) = 0 e y'(0)=0;
SOLUÇÃO: Teorema da Translação e a Transformada Inversa de Laplace
c) y'' - 2y' = e^{t} \text{senh}(t), com y(0) = 0 e y'(0)=0;
SOLUÇÃO:
2) Calcule a Transformada de Laplace Inversa de $$ F(s) = \frac{e^{-3s}}{s^2-2s-3}.$$
Apoie Nosso Trabalho:
Apoie nosso trabalho fazendo um pix de qualquer valor: Chave Pix: 06713646697
SOLUÇÃO: propriedade do deslocamento na frequência
3) Resolva a equação diferencial $$ty”+y’+ty = 0$$ usando a Transformada de Laplace e a propriedade da derivada da Transformada de Laplace.
SOLUÇÃO:completíssima tabela de Transformada de Laplace
Listas de Exercícios
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
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- Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDOs por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos
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