Resolvendo EDOs por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos mais 5 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem solucionadas via Transformada de Laplace. Uma delas tem coeficientes variáveis!

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 12ª Lista de Exercícios

1) Resolva as E.D.O.’s abaixo usando a Transformada de Laplace:

a) y'' -6y'+9y = t, com y(0) = 0 e y'(0)=0.

SOLUÇÃO: 

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 6s Y +9Y = \frac{1}{s^2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{s^2 \left( s^2 – 6s +9\right)} .$$

Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = \frac{1}{s^2 \left( s^2 – 6s +9\right)} = \frac{2}{27\,s}+\frac{1}{9\,{s}^{2}}-\frac{2}{27\,\left( s-3\right) }+\frac{1}{9\,{\left( s-3\right) }^{2}}.$$

Daí, aplicando a transformada inversa de Laplace encontramos $$ y(t) = \frac{t\,{e}^{3\,t}}{9}-\frac{2\,{e}^{3\,t}}{27}+\frac{t}{9}+\frac{2}{27}$$

b) y''-5y'+6y = u(t-1), com y(0) = 0 e y'(0)=0;

SOLUÇÃO: 

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 5s Y +6Y = \frac{e^{-s}}{s^2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{e^{-s} }{s \left( s^2 – 5s +6\right)} .$$

Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = e^{-s} \left\{ \frac{1}{6\,s}-\frac{1}{2\,\left( s-2\right) }+\frac{1}{3\,\left( s-3\right) } \right\},$$ logo, usando o Teorema da Translação e a Transformada Inversa de Laplace, encontramos $$y(t) = u(t-1) \left\{ \frac{{e}^{3\,(t-1)}}{3}-\frac{{e}^{2\,(t-1)}}{2}+\frac{1}{6} \right\} $$

c) y'' - 2y' = e^{t} \text{senh}(t), com y(0) = 0 e y'(0)=0;

SOLUÇÃO: 

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 2s Y = \frac{1}{(s-1)^2 -1} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1 }{[(s-1)^2 -1] \left( s^2 – 2s \right)} .$$

Manipulando algebricamente e por frações parciais, encontramos: $$ Y(s) = \frac{1 }{[(s-1)^2 -1] \left( s^2 – 2s \right)} = \frac{1}{s^4 – 4s^3 +4s^2} = \frac{1}{s^2 \left( s-2 \right)^2 } = \\ = \frac{1}{4\,s}+\frac{1}{4\,{s}^{2}}-\frac{1}{4\,\left( s-2\right) }+\frac{1}{4\,{\left( s-2\right) }^{2}}.$$

Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace encontramos $$ y(t) = \frac{t\,{e}^{2\,t}}{4}-\frac{{e}^{2\,t}}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{4}.$$

2) Calcule a Transformada de Laplace Inversa de $$ F(s) = \frac{e^{-3s}}{s^2-2s-3}.$$

SOLUÇÃO: 

Observe que $$ \frac{1}{s^2-2s-3} = \frac{1}{s^2-2s-4+1}= \frac{1}{(s-1)^2 – 2^2}.$$ Como $$  \frac{1}{s^2 – 2^2} = \mathscr{L} \left( \frac{1}{2} \text{senh}(2t) \right), $$ podemos concluir pela propriedade do deslocamento na frequência que  $$ \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{(s-1)^2 – 2^2} \right) = \frac{1}{2} e^{t} \text{senh}(2t) .$$ Consequentemente, pelo teorema da Translação, $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{e^{-3s}}{(s-1)^2 – 2^2} \right) = \frac{1}{2} u(t-3)e^{t-3} \text{senh}(2(t-3)) .$$

3) Resolva a equação diferencial $$ty”+y’+ty = 0$$ usando a Transformada de Laplace e a propriedade da derivada da Transformada de Laplace.

SOLUÇÃO:

Neste problema, usaremos a propriedade $$ \mathscr{L} \left(t y(t) \right) = – \frac{d}{ds}Y(s), \qquad Y(s) = \mathscr{L} \left( y(t) \right).$$

Usando as condições iniciais, obtemos $$ \mathscr{L} \left(t y”(t) \right) = – 2s Y(s) – s^2 \frac{d}{ds} Y(s)+1$$, o que nos leva, pela transformada de Laplace, à equação: $$-2sY – s^2 Y'(s)+1 +sY – 1 – Y’ = 0 \Leftrightarrow Y’ (1+s^2) +s Y = 0$$ que é EDO de primeira ordem elementar  cuja solução é dada por $$Y(s) = \frac{C}{\sqrt{1+s^2}},$$ onde C é uma constante de integração. Assim, $$y(t) = C \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} \right) $$ e usando nossa completíssima tabela de Transformada de Laplace obtemos $$y(t) = C \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} \right) = C J_0(t) $$ onde $$J_0(t)=1-\frac{t^2}{2^2(1!)^2}+\frac{t^4}{2^4(2!)^2}-\frac{t^6}{2^6(3!)^2}+\cdots = \sum\limits_{n =0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} t^{2n}}{2^{2n} (n!)^2} }.$$

Portanto, a solução da nossa equação será dada por $$y(t) = C \sum\limits_{n =0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} t^{2n}}{2^{2n} (n!)^2} }.$$

Listas de Exercícios

• Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDOs por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos

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