Neste artigo queremos apresentar exercícios resolvidos envolvendo equações diferenciais lineares de segunda ordem. A equação $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = 0 $$ é homogênea, enquanto $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = g(x), $$ é não-homogênea quando g(x) não é identicamente nula.
Na consideração destas equações lineares de segunda ordem, supomos que a_2(x), a_1 (x) , a_0 (x) e g(x) são contínuas em um intervalo I e que a_2 (x) \neq 0 para todod x no intervalo. Sob essas hipóteses, existe uma única solução para $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = g(x), $$ que satisfaça a condição inicial $$ y(x_0) = y_0, \qquad y’ (x_0) = y’_0 ,$$ em que x_0 \in I .
O Wronskiano de duas funções diferenciáveis y_1 (x) e y_2 (x) é o determinante
Você precisa passar em cálculo? Não se preocupe, nós podemos ajudar! Clique aqui e descubra como podemos facilitar sua aprovação. |
Quando W \neq 0 em pelo menos um ponto no intervalo, as funções são linearmente independentes no intervalo e com isso, y_1 (x) e y_2 (x) formam um conjunto fundamental de soluções da equação $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = 0,$$ cuja solução sera dada por $$ y(x) = c_1 y_1 (x) + c_2 y_2 (x) .$$
A solução geral da equação $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = g(x)$$ é dada por $$ y(x) = y_H (x) + y_p (x) $$ em que y_p é uma solução particular desta equação, encontrada pelo Método dos Coeficientes Indeterminados ou pelo Método da Variação dos Parâmetros; e y_H é a solução da equação homogênea associada $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = 0.$$
| Mais abaixo, neste artigo, temos uma vídeo-aula de exercícios resolvidos uma lista com vários outros exercícios resolvidos sobre EDOs Lineares de 2ª Ordem. |
Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 2ª Ordem
1. Dada a EDO de segunda ordem y''+y = t +tsen(t) Encontre:
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada y''+y = 0 .
SOLUÇÃO:
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados e o Princípio da Superposição.
SOLUÇÃO:
2) Resolva o problema de valor inicial $$y” + y = 4x + 10 sen(x)$$ $$y( \pi ) = 0, y’ ( \pi ) = 2$$
SOLUÇÃO:
3) Resolva a E.D.O. homogênea y'' - \dfrac{2t}{1+t^2}y' + \dfrac{2}{1+t^2}y = 0
SOLUÇÃO:
4. Resolva a EDO abaixo usando o método que julgar adequado. $$y” – 2 y’ = e^x sen(x).$$
SOLUÇÃO: Método dos Coeficientes IndeterminadosMétodo da Variação dos Parâmetros
5) Resolva a equação (1-x^2)y'' -2xy' = 0 ;
SOLUÇÃO:
6) Resolva as EDO’s abaixo:
a) y'' - 2y' -3y = 4x - 5 + 6xe^{2x}
SOLUÇÃO:
b) y'' - y = \dfrac{1}{x}
SOLUÇÃO:
c) y'' + y = (x-1)cos(x)
SOLUÇÃO:
d) y'' + 4y = \text{sec}(2x)
Apoie Nosso Trabalho:
Apoie nosso trabalho fazendo um pix de qualquer valor: Chave Pix: 06713646697
Solução:
e) x^2 y'' - 4xy' +6y = \dfrac{42}{x^4}
Solução:
f) xy'' + y' = (3+x)x^2e^x
Solução: Faça z = y' , assim, z' = y'' e nossa equação de segunda ordem se torna uma equação linear de primeira ordem coma variável dependente z : $$xz’ +z = (3+x)x^2e^x$$ que pode ser reescrita como $$(xz)’ = \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}\right) \,{e}^{3\,x}$$ ou seja, $$ z = \frac{1}{x} \int{\left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}\right) \,{e}^{3\,x} dx}= \frac{1}{x} \left[ \frac{\left( 9\,{x}^{3}+18\,{x}^{2}-12\,x+4\right) \,{e}^{3\,x}}{27} + c_1 \right] = \\ = \frac{{x}^{2}\,{e}^{3\,x}}{3}+\frac{2\,x\,{e}^{3\,x}}{3}+\frac{4\,{e}^{3\,x}}{27\,x}-\frac{4\,{e}^{3\,x}}{9}+\frac{c_1}{x}.$$
Agora, como z = y' , então, nossa solução será dada por $$ y = \int{z(x) dx} = \int{\frac{{x}^{2}\,{e}^{3\,x}}{3}+\frac{2\,x\,{e}^{3\,x}}{3}+\frac{4\,{e}^{3\,x}}{27\,x}-\frac{4\,{e}^{3\,x}}{9}+\frac{c_1}{x}} = \\ = c_2 + c_1\,\mathrm{ln}\left( x\right) +\frac{{x}^{2}\,{e}^{3\,x}}{9}+\frac{4\,x\,{e}^{3\,x}}{27}-\frac{16\,{e}^{3\,x}}{81} + \frac{4}{27}\int{x^{-1}{e}^{3\,x} dx}$$
É interessante observar que $$\int{x^{-1}{e}^{3\,x} dx} = \gamma (0, -3x)$$ é a função Gama Incompleta que definimos neste artigo. Logo, podemos escrever nossa solução como $$y(x) = c_2 + c_1\,\mathrm{ln}\left( x\right) +\frac{{x}^{2}\,{e}^{3\,x}}{9}+\frac{4\,x\,{e}^{3\,x}}{27}-\frac{16\,{e}^{3\,x}}{81} + \frac{4}{27} + \gamma (0, -3x)$$.
Mais Listas de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 2ª Ordem
- Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Coeficientes Indeterminados | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Coeficientes Indeterminados | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
LEIA MAIS:
- Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes
- VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS: EDOs de 2ª Ordem Linares
- Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Método dos Coeficientes Indeterminados
- Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: O Princípio da Superposição
- Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos
Assista Nossa Vídeo-Aula
