Dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$
Dizemos que f é diferenciável num conjunto A \subset D_f, se f for diferenciável em todos os pontos de A. Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x_0,y_0), f não é diferenciável neste ponto.
Seja (x_0, y_0) um ponto do domínio da função f(x,y). Se f(x,y) possui derivadas parciais \frac{\partial f}{ \partial x} e \frac{\partial f}{ \partial y} num conjunto A (aberto) que contém (x_0, y_0) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x_0, y_0), então f é diferenciável em (x_0, y_0).
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Diferenciabilidade | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1) Considere f(x,y) = \sqrt{|xy|}.
a) Qual o domínio desta função?
SOLUÇÃO: \mathbb{R} ^2 .
b) Esta função é contínua em todos os pontos do plano?
SOLUÇÃO: De fato, sendo (x_0 , y_0 ) qualquer ponto do plano, então f(x_0 , y_0 ) = \sqrt{|x_0 y_0 |} e $$\lim \limits_{(x,y) \rightarrow (x_0 , y_0 )}{\sqrt{|xy|}} = \sqrt{|x_0 y_0 |} = f(x_0 , y_0 ) .$$ Portanto, pela definição, esta é uma função contínua em todos os pontos do plano.
c) Calcule as derivadas parciais de f(x,y) no ponto (0,0) .
SOLUÇÃO: \begin{eqnarray} \frac{\partial f }{\partial x } & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0 + h,0) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(h,0) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h \times 0|} – 0}{h}} \\ & = & 0\\ \frac{\partial f }{\partial y } & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0,0+h) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0,h) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h \times 0|} – 0}{h}} \\ & = & 0 \end{eqnarray}
d) Estude a diferenciabilidade desta função no ponto (0,0)
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2) Mostre que a função f(x,y) = \sqrt{|y|} cos(x) não é diferenciável na origem porque alguma de suas derivadas parciais deixa de existir neste ponto.
SOLUÇÃO:
3) Seja f(x,y) uma função definida por f(x,y) = \dfrac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} ; (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 0 . Verifique se esta função é diferenciável na origem.
SOLUÇÃO:
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