Delta de Dirac e a Transformada de Laplace| Lista de Exercícios Resolvidos

O Delta de Dirac está associado a forças impulsivas que ocorrem durante a colisão de dois objetos. Ela é um força de grande magnitude e aproximadamente constante que atua no sistema por um curto período de tempo, como uma raquete batendo em uma bola de tênis, ou uma colisão atômica.

Matematicamente, o Delta de Dirac não pode ser caracterizado propriamente como uma função, mas sim como um objeto matemático. Definimos a função Delta de Dirac, denotada por \delta (t-a), pelo limite $$\delta (t-a) = \lim_{k \rightarrow 0}{\frac{1}{k} \left[ u(t-a) – u(t-(a+k)) \right]}.$$

Neste sentido, a Transformada de Laplace do Delta de Dirac é dado por \mathscr{L} \left( \delta(t-a) \right) = e^{-as}. Por consequência, se a=0, então \mathscr{L} \left( \delta(t) \right) = 1.

Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Diferenciais de 2ª Ordem e o Delta de Dirac

EXERCÍCIO 1

Vamos resolver a Transformada Inversa: \mathscr{L} ^{-1} \left[ arctg \left( \frac{1}{s} \right) \right]

Seja  f(t) =  \mathscr{L} ^{-1} \left[ arctg \left( \frac{1}{s} \right) \right] , então $$ t f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ -\frac{d}{ds} arctg \left( \frac{1}{s} \right) \right] = – \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^2 +1} \right] .$$

Por Frações Parciais (leia mais aqui) encontramos $$ t f(t) = – \mathscr{L} ^{-1} \left[ 1-\frac{1}{{s}^{2}+1} \right] = sen(t) – \delta (t) .  $$

Portanto, $$ f(t) = \frac{sen(t) – \delta (t)}{t}. $$

EXERCÍCIO 2

Considere a equação $$y”+3y’+2y = \delta (t-1)$$ com valores iniciais dados por y(0) = 0e y'(0) = 0.

Daí, pela transformada de Laplace

$$\mathscr{L} \left( y”+3y’+2y \right)  =  \mathscr{L}(\delta (t-1))$$

$$\mathscr{L} (y”) + \mathscr{L} (3y’) \mathscr{L} (2y)= e^{-s}$$

$$ s^2Y-sy(0)-y'(0) + 3Ys – y(0) + 2Y = e^{-s} $$

$$ Y(s^2 + 3s + s) = e^{-s}$$

$$Y = \frac{e^{-s}}{s^2 + 3s + s}$$

$$Y = \frac{e^{-s}}{(s+1)(s+2)} = e^{-s} \left( \frac{1}{(s+1)(s+2)} \right) $$

$$Y = e^{-s} \left( \frac{1}{(s+1)} – \frac{1}{(s+2)} \right) $$

$$Y = e^{-s} \left( \frac{1}{(s+1)}\right) – e^{-s} \left(\frac{1}{(s+2)} \right)$$

Pela Transformada inversa

\begin{eqnarray*}
y & = & \mathscr{L}^{-1} \left( e^{-s} \left( \frac{1}{(s+1)}\right) – e^{-s} \left(\frac{1}{(s+2)} \right) \right)\\
\\
& = & \mathscr{L}^{-1} \left( e^{-s} \left( \frac{1}{(s+1)}\right)\right) – \mathscr{L}^{-1} \left( e^{-s} \left(\frac{1}{(s+2)}\right) \right)\\
\\
& = & u(t-1) \left(\mathscr{L}^{-1} \left( \frac{1}{(s+1)}\right) – \mathscr{L}^{-1} \left(\frac{1}{(s+2)}\right) \right)\\
\\
& = & u(t-1) \left(e^{(t-1)}-e^{2(t-1)} \right)\\
\\
& = & \left\{ \begin{array}{ll}
0; & t<1\\
e^{(t-1)}-e^{2(t-1)}; & t \geq 1
\end{array} \right.
\end{eqnarray*}

EXERCÍCIO 3

Encontre a solução do P.V.I.: y'' +16 y = 4 \delta (t- \pi) onde y(0) = -1 e y'(0) = 0;

Neste caso, $$\mathscr{L} \left(y” +16 y\right) = \mathscr{L} (4 \delta (t- \pi)) \Rightarrow s^2 Y -s+16 Y = 4 e^{-\pi s}.$$

Daí, $$Y(s^2 + 16) =  4 e^{-\pi s} + s \Rightarrow Y(s) = \frac{4 e^{-\pi s}}{(s^2 + 16)} + \frac{s}{(s^2 + 16)} = $$ $$ = e^{-\pi s}\frac{4}{(s^2 + 16)} + \frac{s}{(s^2 + 16)}.$$

Desta forma, usando a linearidade da transformada inversa e o teorema da translação, encontramos $$y(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( e^{-\pi s}\frac{4}{(s^2 + 16)}  \right) + \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{s}{(s^2 + 16)} \right) = u(t- \pi)sen(4(t-\pi)) + cos(4t).$$

EXERCÍCIO 4

Encontre a solução do P.V.I.: y''+4y'+4 = 3 \delta(t-1) + \delta(t-2), y(0) = 1 e y'(0) = 1.

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação encontramos: $$s^2 Y – s -1 + 4(sY-1) = 3 e^{-s} + e^{-2s} – \frac{4}{s}$$ que nos leva a $$Y(s) = 3e^{-s} \frac{1}{s^2 +4} + e^{-2s} \frac{1}{s^2 +4} – \frac{4}{s(s^2 +4)} + \frac{s}{s^2 +4}  + \frac{1}{s^2 +4}.$$

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa obtemos $$y(t) = \frac{3}{2} u(t-1)sen(2(t-1)) + \frac{1}{2} u(t-2) sen(t-2) +1 + \frac{1}{2} sen(2t).$$

EXERCÍCIO 5

Encontre a solução do P.V.I.:  y'' + 9 y = 3 \delta (t - \pi); \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 0 ;

Considere Y(s) = \mathscr{L} \left\{ y(t) \right\} . Como \mathscr{L} \left\{ y''(t) \right\} = s^2 Y(s) - s e \mathscr{L} \left\{ 3 \delta (t - \pi)\right\} = 3e^{-\pi s} , podemos tomar a Transformada de Laplace dos dois lados da equação e resolver para Y(s) resultando em $$s^2 Y – s + 9 Y = 3e^{-\pi s}$$ e o que nos leva a $$Y(s) = \frac{s}{s^2 +9} + e^{-\pi s} \frac{3}{s^2 +9} = \mathscr{L} \left\{ cos(3t) \right\} + e^{-\pi s} \mathscr{L} \left\{ sen(3t) \right\} $$

Usando a propriedade de translação para determinar a transformação de Laplace Inversa de Y(s) , achamos $$y(t) = cos(3t) + \left[ sen(3[t – \pi])\right] u(t- \pi).$$

OBS: Este P.V.I. está ligada ao problema de uma mola presa, liberada do repouso 1 m abaixo da posição de equilíbrio para o sistema massa-mola e começa a vibrar. Depois de \pi segundos, a massa é atingida por um martelo exercendo sobre ela um impulso.

Leia Mais:

• O Delta de Dirac | Da definição à solução de Equações Diferenciais
• Transformada de Laplace | Das Definições Básicas à Função Delta
• Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | Propriedade da Derivada de F(s)

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