Indica-se como \mathbb{R} ^2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y) , onde x e y são números reais. Entenda como este conjunto se relaciona com o plano cartesiano.
Dados (x,y) e (x' , y' ) em \mathbb{R} ^2 , tem-se que (x,y) = (x' , y' ) se, e somente se, x = x' e y = y' . O número x se chama a primeira coordenada e o número y a segunda coordenada do para (x,y) .
Um sistema de eixos ortogonais num plano \pi é um par de eixos Ox e Oy , tomados em \pi , que são perpendiculares e têm a mesma origem O . Diz-se que o eixo Ox é horizontal e o eixo Oy é vertical.
Sistema de eixos coordenados no plano.
Um plano \pi munido de um sistema de eixos ortogonais põe-se, de modo natural, em correspondência biunívoca com o conjunto \mathbb{R} ^2 . Dado o ponto P do plano, baixamos por ele paralelas aos eixos Ox e Oy . Estas retas paralelas cortam os eixos em pontos cijas coordenadas são x e y respectivamente.
Ao ponto P do plano \pi faz-se corresponder o par ordenado (x,y) \in \mathbb{R} ^2. Reciprocamente, a cada par ordenado (x,y) \in \mathbb{R} ^2 corresponde a um ponto P \in \pi . Os números x e y chama-se coordenadas cartesianas do ponto P relativamente ao sistema de eixos ortogonais fixado: x é a abcissa e y a ordenada de P .
Em todo o nosso estudo sobre geometria analítica, a menos que seja feita explicitamente uma menção em contrário, admitiremos que foi fixado um sistema de eixos ortogonais no plano, que assim se identifica a \mathbb{R} ^2. Cada ponto P(x,y) do plano passa a ser a mesma coisa que um par ordenado de números reais.
Os eixos ortogonais decompões o plano em quatro regiões, chamados quadrantes. Tem-se o primeiro quadrante, formado pelos pontos que têm ambas coordenadas positivas. No segundo quadrante, a abcissa é negatica e a ordenada é positiva. No terceiro quadrante, abcissa e ordenada são ambas negativas. No quarto quadrante, os pontos têm abcissa positiva e ordenada negativa.
Os quatro quadrantes do Plano Cartesiano
Evidentemente, os pntos do eixo Ox das abcissas têm coordenadas (x,0) e no eixo das ordenadas Oy os pontos são da forma (0,y) . O ponto O , origem dos eixos, tem coordenadas (0,0) .
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A Distância Entre Dois Pontos no Plano Cartesiano
Dados os pontos P_1 = \left( x_1 , y_1 \right) e P_2 = \left( x_2 , y_2 \right) , queremos obter a expressão da distância entre estes dois pontos, dada por d \left( P_1 , P_2 \right) em termos das coordenadas de P_1 e P_2 . Para isso, introduzimos o novo ponto Q = \left( x_2 , y_1 \right) .
O triângulo da figura é retângulo e a sua hipotenusa mede exatamente a distância entre os pontos que queremos calcular
Como P_1 e Q têm a mesma ordenada, o segmento P_1 Q é horizontal (paralelo ao eixo Ox ) e mede | x_1 - x_2 | . Analogamente, o segmento P_2 Q é vertical (paralelo ao eixo Oy ) e mede | y_1 - y_2 | . Portanto, P_1 P_2 é a hipotenusa do triângulo retângulo P_1 P_2 Q. Do teorema de Pitágoras, temos que $$ d \left( P_1 , P_2 \right) = \sqrt{\left( x_1 – x_2 \right)^2 + \left( y_1 – y_2 \right)^2 }.$$
EXEMPLO: Vamos calcular a distância entre os pontos A(2,-1) e B(-1,3) . Usando a fórmula apresentada anteriormente temos que $$ d \left( A , B \right) = \sqrt{\left( 2 – (-1) \right)^2 + \left(-1-3 \right)^2 } = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.$$
Pode acontecer eventualmente que uma das pacelas do radicando (ou até mesmo duas) seja nula; de fato, para os pontos A(2,1) e B(2,5) , teremos x_A - x_B = 2-2 = 0. Note que o segmento \overline{AB} é vertical e que, portanto, a distância entre estes dois pontos é igual a 4. Em casos como este é conveniente escrever $$d(A,B) = |5-1| = 4 \qquad \text{ou} \qquad d(A,B) = |1-5| = 4.$$
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De maneira análoga devemos tratar o segmento horizontal, que aparece quando os pontos possuem a mesma ordenada. É importante salientar que, embora tenhamos deduzido a nossa fórmula usando pontos do 1º quadrante, ela não perde o seu valor quando temos pontos de outros quadrantes, o que poderá ser observado durante a resolução dos exercícios.
O Ponto Médio de Um Segmento
EXEMPLO: 
Condição de Alinhamento de Três Pontos
EXEMPLO:
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