Introdução à Teoria dos Conjuntos | Pré Cálculo

Um conjunto é uma palavra para designar uma coleção de objetos, e eles são sempre indicados por letras maiúsculas. Já os objetos de um conjunto são denominados elementos e são indicados por letras minúsculas. Como toda a matemática moderna é apresentada na linguagem dos conjuntos, o cálculo diferencial e integral não foge à regra.

Alguns tipos de conjuntos são especiais no estudo da matemática. O conjunto unitário, por exemplo, é aquele que apresenta somente um elemento. Já o conjunto que não possui nenhum elemento é conhecido como conjunto vazio e é indicado pelo símbolo \emptyset . Por conjunto universo entendemos aquele conjunto ao qual pertencem todos os elementos e dois conjuntos só serão iguais quando todo elemento de um pertence ao outro.

Relações de Pertinência

A relação básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Um conjunto fica definido (determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objetos arbitrário pertence ou não a ele. Até por isso, primeiramente, vamos tratar das relações de pertinência entre os elementos e os conjuntos. Para isto utilizamos os símbolos:

1. \in (pertence): isso quer dizer que o elemento está no conjunto;
2. \notin (não pertence): isso quer dizer que o elemento não está no conjunto.

Dizemos que a pertence à um conjunto A se a é um elemento de A e indicamos esta relação por $$a \in A.$$ Caso contrário, se a não pertence ao conjunto A, então utilizamos a seguinte notação para esta relação $$a \notin A.$$

Você pode definir um conjunto apenas listando seus objetos entre chaves como abaixo:

1. A = \{1, 3, 5, 7, 9\} ;
2. V = \{a, e, i, o, u\};
3. F = \{laranja, \; banana, \; abacaxi\};
4. \mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,...\};
5. \mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}.

Entretanto, a maioria dos conjuntos encontrados no estudo do cálculo não são definidos especificando-se um a um seus elementos. Por exemplo, podemos definir o conjunto A dos triângulos retângulos como o formado por todos os triângulo de lados a , b e c que possuem um ângulo reto.

O método mais frequente de definir um conjunto é por meio de uma propriedade comum e exclusiva dos seus elementos. Geralmente, utilizamos a forma $$A = \{x \,:\, P(x)\},$$ onde P(x) representa uma propriedade comum a todos os elementos do conjunto. Nestas condições, definimos o conjunto vazio como $$ \emptyset = \{ x ; x \notin \emptyset \}$$ ou então  $$ \emptyset = \{ x ; x \neq x \}.$$

Ou seja, Um conjunto A fica definido quando se dá uma regra que permita se decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A . Por exemplo, considere o conjunto \mathbb{N} e a propriedade P: “x é maior do que 5″. Esta propriedade define o conjunto $$A=\{ x \in \mathbb{N}; x > 5\}=\{6,7,8,9,10…\}.$$

O conjunto dos números racionais pode ser escrito desta forma. Podemos definir o conjunto $\mathbb{Q}$, dos números racionais, utilizando $$\mathbb{Q}= \left\{ \frac{p}{q}; \; p,q \in \mathbb{Z},\;\;\; q \neq 0\;\;\; e \;\;\; mdc(p,q)=1\right\}.$$

Relações de Inclusão e Subconjuntos

Outra relação inerente aos conjuntos são as relações de inclusão. Esta relação envolvem conjuntos e para designá-las utilizamos os seguinte símbolo: \subset, que significa está contido.

Dizemos que um conjunto A esta contido num conjunto B se todo elemento de A é um elemento de B. Denotamos esta relação por $$A \subset B.$$

Podemos, então, definir o que é um subconjunto. O conjunto A será um subconjunto de B se A \subset B. Também podemos dizer que A é parte de B, que A está incluído em B, ou contido em B. Os conjuntos numéricos, por exemplo, obedecem à cadeia de inclusão: $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.$$

A relação de inclusão A\subset B satisfaz as propriedades:

• Reflexiva: A\subset A , seja qual for o conjunto A ;
• Anti-Simétrica: Se A\subset B e  B \subset A , então A = B (ou seja, od dois conjuntos possuem os mesmos elementos, sendo, portanto, o mesmo conjunto); e
• Transitiva: se A\subset B e B\subset C , então A\subset C .

Uma conclusão óbvia, mas altamente pertinente, diz que para mostrar que um conjunto A não está contido em um conjunto B basta mostra que um elemento de A que não está em B.

A relação de pertinência ainda implica na existência do conjunto das partes de um conjunto A, que é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Mas que para o nosso objetivo introdutório se torna um tanto profundo e por isso deixaremos este tema para os futuros artigos de Análise Real.

União e Interseção

Dados dois conjuntos A e B, podemos criar um “novo” conjunto formado pelos elementos de A e pelos elementos de B. Este conjunto é formado pela UNIÃO de A com B. Se este novo conjunto é denominado C, denotamos a união por $$C=A\cup B = \left\{x; x\in A\;\;\;ou\;\;\;x\in B\right\}.$$

Analogamente, podemos criar outro conjunto, geralmente diferente do construído com a união, formado pelos elementos que estão tanto em A quanto a B. Este conjunto, denotado por $$A\cap B = \left\{x; x\in A\;\;\;e\;\;\;x\in B\right\}$$, é denominado interseção de A com B. Dois conjuntos são ditos disjuntos se A \cap B = \emptyset .

EXEMPLO: Se A=\left\{ 1,2\right\} e B=\left\{ 1,5,6\right\}, então:

1. A\cup B = \left\{1,2,5,6\right\}
2. A\cap B = \left\{1\right\}

Parecem implicações óbvias, mas é necessário o registro de que, independente de quais forem os conjuntos A e   B , tem-se sempre

1. A\subset A \cup B e B\subset A \cup B ;
2. A \cap B \subset A e A \cup B \subset B .

Além disso, abaixo listamos as principais propriedades formais das operações de reunião e interseção:

As demonstrações de qualquer dessas propriedades se reduz ao manejo adequado dos conectivos “e” e “ou”, mas deixaremos suas demonstrações para os artigos sobre Análise Real.

Diferença Entre Conjuntos e o Complementar

A diferença entre os conjuntos A e   B é o conjunto $$ A – B = \{ x; x \in A \;\;\; e \;\;\; x \notin B\},$$ ou seja, o conjunto formado pelos elementos de A que não estão em   B . Pode se mostrar, conforme ilustrado na figura abaixo, que independente dos conjuntos tomados, $$ A – B = A – (A \cap B) .$$

Não se exige que B esteja contido em A   para forma a diferençe entre os dois conjuntos. Quando os conjuntos A e   B são disjuntos, então A - B = A e B - A = B .

Quando se tem B \subset A , a diferença A - B = A chama-se o complementar de B em relação a A e escrevemos $$ A – B = \mathcal{C}_{A} B .$$

Geralmente em nosso estudo, estaremos considerando um conjunto chamado de conjunto universo, que é aquele que contém todos os conjuntos possíveis na nossa discussão. Para o estudo do cálculo este conjunto será o conjunto \mathbb{R}, dos números reais.

Dado um conjunto A \subset \mathbb{E} a diferença \mathbb{E} - A se chama complementar de A e indicamos apenas pelo símbolo A^C e $$A^C = \{x \in \mathbb{E}; x \notin A\}.$$

Em todo caso, as propriedades e observações sobre o complementar de um conjunto serão deixadas para um futuro artigo mais aprofundado em Análise Real, pois, para o estudo do cálculo esta definição já é o suficiente.

Lista de Exercícios:

• Teoria dos Conjuntos | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• O que são Conjuntos Numéricos?
• O que são Números Irracionais? Definição, História e Propriedades
• Números Reais | Introdução à Topologia da Reta Real
• Números Reais | Definição, Operações Elementares, Intervalos e Módulo