EDOs Lineares de 2ª Ordem: 3ª Lista de Exercícios Resolvido

Aprenda a resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com exercícios práticos e soluções detalhadas. Este artigo apresenta uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem. Aborda soluções gerais e particulares, equações homogêneas e não homogêneas, com foco em métodos como a equação característica e aplicação de condições iniciais, auxiliando estudantes no domínio do cálculo diferencial.

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Introdução:

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem lineares são fundamentais na modelagem de fenômenos físicos e engenharias. Este artigo apresenta uma terceira lista de exercícios resolvidos, abordando técnicas para encontrar soluções gerais e particulares, incluindo casos homogêneos e não homogêneos, com aplicação de condições iniciais.

Fundamentação Teórica:

Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem possui a forma geral:

\[
a(x) y” + b(x) y’ + c(x) y = f(x)
\]

onde $ a(x) \neq 0 $ em um intervalo $ I \subset \mathbb{R} $, e $ y = y(x) $ é a função incógnita.

i) Classificação das Equações

A equação é dita homogênea se $ f(x) = 0 $ para todo $ x \in I $; caso contrário, é não homogênea.

ii) Soluções de Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes

Quando $ a(x), b(x), c(x) $ são constantes, a equação homogênea pode ser resolvida utilizando a equação característica:

\[
a r^2 + b r + c = 0
\]

As raízes $ r_1 $ e $ r_2 $ determinam a forma da solução geral:

– Se $ r_1 $ e $ r_2 $ são reais e distintas:

\[
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
\]

– Se $ r_1 = r_2 = r $ (raiz real dupla):

\[
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x}
\]

– Se $ r_1 = \alpha + i \beta $, $ r_2 = \alpha – i \beta $ (raízes complexas conjugadas):

\[
y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))
\]

iii) Soluções de Equações Não Homogêneas

A solução geral de uma equação não homogênea é dada por:

\[
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
\]

onde $ y_h(x) $ é a solução geral da equação homogênea associada, e $ y_p(x) $ é uma solução particular da equação não homogênea.

iv) Método dos Coeficientes a Determinar

Este método é aplicável quando $ f(x) $ é uma função polinomial, exponencial, seno ou cosseno, ou uma combinação dessas. Assume-se uma forma para $ y_p(x) $ semelhante a $ f(x) $, com coeficientes indeterminados que são calculados substituindo $ y_p(x) $ na equação original.

v) Método da Variação dos Parâmetros

Este método é utilizado quando o método dos coeficientes a determinar não é aplicável. Supondo que $ y_1(x) $ e $ y_2(x) $ sejam soluções lineares independentes da equação homogênea associada, a solução particular é dada por:

\[
y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)
\]

onde $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções obtidas através do sistema:

\[
\begin{cases}
u_1′(x) y_1(x) + u_2′(x) y_2(x) = 0 \\
u_1′(x) y_1′(x) + u_2′(x) y_2′(x) = f(x)
\end{cases}
\]

Resolvendo esse sistema, integra-se $ u_1′(x) $ e $ u_2′(x) $ para encontrar $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $, e assim determinar $ y_p(x) $.

vi) Princípio da Superposição

Para equações lineares homogêneas, qualquer combinação linear de soluções também é solução. Se $ y_1(x) $ e $ y_2(x) $ são soluções, então:

\[
y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)
\]

é também solução, para quaisquer constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.

\subsection*{Condições Iniciais e Problemas de Valor Inicial (PVI)}

Um problema de valor inicial para uma equação de segunda ordem inclui condições como:

\[
y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_0′
\]

A aplicação dessas condições permite determinar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral, obtendo assim a solução particular que satisfaz o problema proposto.

Mais abaixo, neste artigo, temos uma vídeo-aula de exercícios resolvidos uma lista com vários outros exercícios resolvidos sobre EDOs Lineares de 2ª Ordem.

3ª Lista de Exercícios de Resolvidos sobre Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem

1) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem:

a) $2 y'' - 5y' - 3y = 0$

SOLUÇÃO: Neste caso a Equação Característica é dada por $$2\lambda ^2 – 5 \lambda – 3 = 0$$ que tem raízes dadas por $$ \lambda_1 =-\frac{1}{2}; \lambda_2 = 3$$ Portanto, a solução da equação diferencial é dada por $$y(t) = c_1 e ^{-t/2} + c_2 e^{3t}.$$

b) $y'' + 4y' - 2y = 2x^2 - 3x +6$

SOLUÇÃO: Neste caso, a solução será pela soma $y(t) = y_H(t) + y_P (t)$ .

Primeiramente vamos encontrar a solução da equação homogênea associada, $y_H(x)$ , dada por $y'' + 4y' - 2y = 0$ : $$ y” + 4y’ – 2y = 0 \Rightarrow \lambda ^2 + 4 \lambda -2 =0 \Rightarrow \lambda_1 = -2 – \sqrt{6}; \lambda_2 = -2 + \sqrt{6} .$$ Então, $$y_H (t) = c_1 e ^{(-2 – \sqrt{6})x} + c_2 e^{(-2 + \sqrt{6})x} .$$

Agora, vamos encontrar uma solução particular, $y_P (x)$ , da equação completa $y'' + 4y' - 2y = 2x^2 - 3x +6$ .

Observe que $g(x) = 2x^2 - 3x +6$ é um polinômio de grau 2 e usando a tabela do Método dos Coeficientes Indeterminados iremos procurar uma solução particular na forma $$ y_P (t) = Ax^2 + Bx +C.$$

Devemos determinar coeficientes específicos A, B e C para os quais $y_P (x)$ seja uma solução particular para a EDO. Substituindo $y_P (x)$ e suas derivadas, $$y’_{P} (x) = 2Ax + B$$ $$y”_{P}(x) = 2A,$$ na EDO obtemos, $$ y”_{P} +4 y’_{P} – 2 y_{P} = 2A +8Ax+4B-2Ax^2-2Bx – 2C = 2x^2 -3x+6.$$

O que nos leva ao sistema $$-2A = 2$$ $$8A – 2B = -3$$ $$2A+4B-2C = 6.$$ Que tem solução dada por $A=-1, B=-5/2$ e $C=-9$ .

Logo, $$ y_P (x) = -x^2 – \frac{5}{2} x -9 .$$

Portanto, $$ y(x) = c_1 e ^{(-2 – \sqrt{6})x} + c_2 e^{(-2 + \sqrt{6})x} -x^2 – \frac{5}{2} x -9 $$

Obviamente, esta solução particular $y_p (x)$ também poderia ser encontrada usando o Método da Variação dos Parâmetros.

c) $y'' - y' + y = 2 sen(3x)$

SOLUÇÃO: Facilmente podemos ver que, neste caso, $$ y_H (x) = e^{x/2} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} x \right) + c_2 sen \left( \frac{\sqrt{3}}{2} x \right) \right) .$$

Agora, usando a tabela do Método dos Coeficientes Indeterminados iremos procurar uma solução particular na forma $$ y_{P} (x) = A cos(3x) + B sen(3x) .$$

Derivando $y_{P} (x)$ e substituindo os resultados na equação diferencial, obtemos, depois de reagrupar $$y” _{P} – y’ _{P} + y_{P} = (-8A – 3B)cos(3x) + (3A – 8B) sen(3x) = 2 sen(3x) $$ o que nos leva ao sistema $$ -8A – 3B = 0 $$ $$3A – 8B = 2$$ que tem solução dada por $$A = 6/73$$ $$B=-16/73.$$ Uma solução particular para a equação é $$ y_{P} (x) = \frac{6}{73} cos(3x) – \frac{16}{73} sen(3x) .$$

Portanto $$y(x) = e^{x/2} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} x \right) + c_2 sen \left( \frac{\sqrt{3}}{2} x \right) \right) + \frac{6}{73} cos(3x) – \frac{16}{73} sen(3x).$$

Observamos que esta solução particular $y_p (x)$ também poderia ser encontrada usando o Método da Variação dos Parâmetros.

d) $y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}$

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada, $y'' - 4y' + 4y = 0$ , possui solução dada por $$y_{H}(x) = c_1 e^{2x} +c_2 x e^{2x} .$$

Com isso, um Conjunto Fundamental de Soluções desta equação é dado por $$ \{ e^{2x} , x e^{2x} \}, $$ com Wronskiano dado por $$ W(e^{2x} , x e^{2x}) = e^{2x} (2xe^{2x} + e^{2x} )- 2e^{2x} xe^{2x} = e^{4x} .$$

Usando o Método da Variação dos Parâmetros encontramos $$y_{P} (x) = – e^{2x} \int{\frac{xe^{2x} (x+1)e^{2x}}{e^{4x}} dx} + x e^{2x} \int{\frac{e^{2x} (x+1)e^{2x} }{e^{4x}} dx} = $$ $$ = – e^{2x} \int{x(x+1)dx} + x e^{2x} \int{(x+1) dx} $$ $$= – e^{2x} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) + x e^{2x} \left( \frac{x^2}{2} +x \right)$$

Portanto a solução da EDO é dada por $$y(x) = c_1 e^{2x} +c_2 x e^{2x} – e^{2x} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) + x e^{2x} \left( \frac{x^2}{2} +x \right) .$$

e) $4y'' + 36y = \cosec{(3x)}$

SOLUÇÃO: Primeiramente devemos colocar a equação na forma padrão: $$y ” + 9y = \frac{1}{4} cosec{(3x)} .$$

Como as raízes da equação característica $m^2 +9 = 0$ são $m_1 = 3 i$ e $m_2 = - 3 i$ a solução da equação homogênea associada é dada por $$y_H(x) = c_1 cos(3x) + c_2 sen(3x) .$$

Usando $y_1(x) = cos(3x)$ e $y_2(x) = sen(3x)$ , encontramos $$W(cos(3x), sen(3x) ) = 3 cos^2 (3x) + 3 sen(3x) = 3.$$

Desta forma, usando o Método da Variação dos Parâmetros encontramos, lembrando que $cosec(3x) = \dfrac{1}{sen(3x)}$ ,

$$y_{P} (x) = – cos(3x) \int{\frac{sen(3x) cosec{(3x)}}{3} dx} + sen(3x) \int{\frac{cos(3x) cosec{(3x)}}{3}dx} = $$ $$ = -\frac{cos(3x)}{3} \int{dx} + \frac{ sen(3x) }{3} \int{\frac{cos(3x)}{sen(3x)}dx} =$$ $$ = -\frac{1}{12}x cox(3x) + \frac{1}{36}(sen(3x))\ln{|sen(3x)|}$$

Portanto, a solução geral é dada por $$y(x) = c_1 cos(3x) + c_2 sen(3x) -\frac{1}{12}x cox(3x) + \frac{1}{36}(sen(3x))\ln{|sen(3x)|}.$$

f) $y'' - 3\tg{(x)}y' = 0$

SOLUÇÃO: Observe que neste caso não temos o termo $c(x)y(x)$ , desta forma, podemos fazer a substituição $u = y'$ , o que nos leva à EDO linear de primeira ordem $$u’ -3 tg(x) u = 0 ,$$ que tem solução dada por $$u(x) = c_1 sec^3 (x).$$

Portanto, $$y(x) = \int{c_1 sec^3 (x) dx} = c_1 \left[ \frac{1}{4} \ln{\left( \frac{sen(x) +1 }{sen(x) – 1 } \right)} + \frac{1}{2} tg(x)sec(x) \right] + c_2 .$$

g) $(1-2x-x^2)y'' + 2(1+x)y' - 2y = 0$

SOLUÇÃO: Esta equação é homogênea, porém não tem coeficientes contantes e não se encaixa como uma EDO de Euler-Cauchy.

Desta forma precisamos encontrar uma solução particular diferente da solução trivial $y (x) = 0$ . Olhando para os coeficientes, tentaremos encontrar uma $y_1 (x)$ polinomial.

Observe que se $y_1 (x) = a$ , então, substituindo na equação, obtemos $-2a = 0$ , o que nos leva à solução trivial $y_1 (x) = 0$ . Portanto, não existe uma solução particular, exceto a trivial, que seja constante.

Agora, tentando uma solução particular $y_1 (x)$ como um polinômio de primeiro grau $y_1 (x) = ax +b$ encontramos $$ (1-2x-x^2)y” + 2(1+x)y’ – 2y = 0 \Rightarrow (1-2x-x^2) \times 0 + 2(1+x)\times a – 2\times (ax+b) = 0 \Rightarrow a =b,$$ ou seja, para qualquer valor de a, $y_1 (x) = ax +a$ é uma solução particular da equação.

Por uma questão de simplicidade escolheremos $y_1 (x) = x +1 .$

Agora, usando o Método da Redução de Ordem encontraremos $y_2 (x)$ .

Para isso, precisamos reescrever a equação como $$ y” + \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)}y’ – \frac{2}{(1-2x-x^2)}y = 0, $$ sendo $$p(x) = \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)} .$$ Assim, $y_2(x) = y_1(x) \int{u(x)}dx = (x+1) \int{u(x)}dx$ sendo $$ u(x) = \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1^2(x)} = \frac{e^{-\int \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)} dx}}{(x+1)^2} = $$ $$ = \frac{e^{\mathrm{log}\left( -{x}^{2}-2\,x+1\right) } }{(x+1)^2} = \frac{-{x}^{2}-2\,x+1}{(x+1)^2}$$

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Ou seja, $$ y_2(x) = (x+1) \int{\frac{-{x}^{2}-2\,x+1}{(x+1)^2}}dx = $$ $$ = (x+1) \left(-\frac{2}{x+1}-x \right) = -x^2-x-2.$$

Portanto, como o Método da Redução de Ordem nos dá uma segunda solução particular que forma um CFS da equação, podemos dizer que a solução geral da equação é dada por:

$$y(x) = c_1 y_1 (x) + c_2 y_2(x) = c_1 (x+1) – c_2 (x^2+ x+2).$$

2) Determine um Conjunto Fundamental de Soluções e uma solução geral de $y'' + k^2 y = 0$ , sendo k uma constante real.

SOLUÇÃO: A equação característica neste caso é dada por $$ m^2 + k^2 = 0$$ e tem raízes $$m_1 = i k \;\;\;e \;\;\; m_2 = -i k .$$ Portanto, uma solução geral, neste caso é dada por $$y(x) = c_1 cos(kx) + c_2 sen(kx).$$

Desta forma, um Conjunto Fundamental de Soluções desta equação é dado por $$ \{ cos(kx) , sen(kx) \}, $$ desde que $k = 0$ , pois $$ W(cos(kx), sen(kx)) = kcos^2 (kx) + k sen^2 (kx) = k.$$

3) Resolva o problema de valor inicial $$y” + y = 4x + 10 sen(x)$$ $$y( \pi ) = 0, y’ ( \pi ) = 2$$

SOLUÇÃO: A solução da equação homogênea associada $y'' + y = 0$ é dada por $$y_{H}(x) = c_1 cos(x)+c_2 sen(x).$$

Agora, como $g(x)$ é a soma de um polinômio linear com uma função seno. Usando o Método da Variação dos Parâmetros encontramos, fazendo $\{ cos(x), sen(x) \}$ como C.F.S., pois $W(cos(x), sen(x)) = 1$

$$y_{P}(x) = -cos(x) \int{sen(x)[4x +10 sen(x)]dx} + sen(x) \int{cos(x)[4x +10 sen(x)]dx}$$

$$ y_{P}(x) = \mathrm{sen}\left( x\right) \,\left( 4\,\left( x\,\mathrm{sen}\left( x\right) +\mathrm{cos}\left( x\right) \right) – 5\,{\mathrm{cos}\left( x\right) }^{2}\right) -$$ $$-\mathrm{cos}\left( x\right) \,\left( 5\,\left( x-\frac{\mathrm{sen}\left( 2\,x\right) }{2}\right) +4\,\left( \mathrm{sen}\left( x\right) -x\,\mathrm{cos}\left( x\right) \right) \right) $$

$$ y_{P}(x) = 4\,x-5\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) $$

Portanto, $$y(x) = c_1 cos(x)+c_2 sen(x) + 4\,x-5\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) $$

Usando as condições iniciais obtemos $c_1 = 9 \pi$ e $c_2 = 7$

Portanto, a solução do PVI é dada por $$y(x) = 9 \pi cos(x)+7 sen(x) + 4\,x-5\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) .$$

Podemos encontrar a mesma solução usando o Método dos Coeficientes Indeterminados para determinar a solução particular $y_{P}(x)$ .

Perceba que g(x) é uma soma de um polinômio linear e uma função seno, desta forma, buscamos uma solução particular com a estrutura $$y_p(x) = Ax+B+Cxcos(x) + Dx sen(x) . $$

Derivando essa expressão e substituindo os resultados na equação diferencial, temos $$ y”_{P} + y_{P} = Ax +B-2C sen(x)+ 2D cos(x) = 4x +10 sen(x)$$ o que nos leva ao sistema $$A=4$$ $$B=0$$ $$-2C = 10$$ $$2D =0 .$$ Portanto, obtemos a solução particular $$y_{P}(x) = 4x – 5x cos(x) .$$

Com isso, obtemos a solução geral $$y(x) = c_1 cos(x)+c_2 sen(x) + 4\,x-5\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) $$ e usando as condições iniciais obtemos $c_1 = 9 \pi$ e $c_2 = 7$

Portanto, a solução do PVI é dada por $$y(x) = 9 \pi cos(x)+7 sen(x) + 4\,x-5\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) .$$

Conclusão:

Ao longo deste artigo, exploramos técnicas essenciais para resolver EDOs lineares de segunda ordem, incluindo a determinação de soluções gerais e particulares, aplicação de condições iniciais e métodos específicos para equações homogêneas e não homogêneas.

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Introdução:

Fundamentação Teórica:

i) Classificação das Equações

ii) Soluções de Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes

iii) Soluções de Equações Não Homogêneas

iv) Método dos Coeficientes a Determinar

v) Método da Variação dos Parâmetros

vi) Princípio da Superposição

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