Transformada de Laplace | Sistema Linear com Coeficientes Constantes

O método de Laplace pode ser aplicado para solucionar sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Desde que sejam especificadas condições iniciais, a Transformada de Laplace reduz um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes a um conjunto de equações algébricas simultâneas nas funções transformadas que pode ser resolvido matricialmente ou algebricamente.

Entendo o Método por Sistemas de E.D.O.’s de 1ª Ordem

Um sistema de equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes é dada da forma $$\left\{ \begin{array}{l} y_1′ = a_{11}y_1+a_{12}y_2 + g_1(t)\\ \\ y_2′ = a_{21}y_1+a_{22}y_2 + g_2(t) \end{array} \right. $$

Considerando $Y_1 = \mathscr{L}(y_1)$ , $Y_2 = \mathscr{L}(y_2)$ , $G_1 = \mathscr{L}(g_1)$ e $G_2 = \mathscr{L}(g_2)$ , encontramos $$\left\{ \begin{array}{l}
sY_1 – y_1(0) = a_{11}Y_1+a_{12}Y_2 + G_1(s)
\\
sY_2 – y_2(0) = a_{21}Y_1+a_{22}Y_2 + G_2(s)
\end{array} \right.
$$ que fica $$\left\{ \begin{array}{l}
(a_{11} – s)Y_1 + a_{12}Y_2 = -y_1(0) + G_1(s)\\
\\
(a_{21})Y_1 + (a_{22} – s)Y_2 = -y_2(0) + G_2(s)
\end{array} \right.
$$ que pode ser escrito na forma matricial $$\left[ \begin{array}{lr}
a_{11} -s & a_{12}\\
\\
a_{21} & a_{22} – s\\
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{l}
Y_1 \\
\\
Y_2
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
G_1(s) -y_1(0) \\
\\
G_2(s) -y_2(0)
\end{array} \right],$$ donde $$ \left[ \begin{array}{l}
Y_1 \\
\\
Y_2
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{lr}
a_{11} -s & a_{12}\\
\\
a_{21} & a_{22} – s\\
\end{array} \right] ^{-1} \left[ \begin{array}{l}
G_1(s) -y_1(0) \\
\\
G_2(s) -y_2(0)
\end{array} \right]$$ que nos dá um sistema onde as soluções serão obtidas pela transforma inversa, sabendo que $y_1(t) = \mathscr{L}^{-1} (Y_1)$ e $y_2(t) = \mathscr{L}^{-1} (Y_2)$ .

EXEMPLO 1: Resolva o problema de valor inicial $$\left\{ \begin{array}{rcl} x’ -2y & = & 4t\\ \\ y’ +2y – 4x & = & -4t-2 \end{array} \right. $$ cujas condições iniciais são dadas por $x(0) = 4$ e $y(0) = -5$ .

Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados das equações diferenciais, e considerando $\mathscr{L}\{ x(t) \} = X(s)$ e $\mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s)$ temos $$\left\{ \begin{array}{l} sX(s) – 2Y(s) = \frac{4s^2 + 4}{s^2}\\ \\ -4X(s) + (s+2) Y(s) = – \frac{5s^2 + 2s+ 4}{s^2} \end{array} \right. $$

Para eliminar $Y(s)$ do sistema, multiplicamos a primeira equação por $(s+2)$ e a segunda por 2 e depois somamos para obter $$\left[ s(s+2)-8 \right] X(s)= \frac{(s+2)(4s^2 +4)}{s^2}- \frac{10s^2 + 4s +8}{s^2}$$ que é simplificado para $$X(s) = \frac{4s-2}{(s+4)(s-2)}.$$

Para calcular a transformada inversa, escrevemos $X(s)$ em termos de frações parciais $$X(s) = \frac{3}{s+4}+ \frac{1}{s-2}.$$ Logo, pela tabela de transformada de Laplace, descobrimos que $$x(t) = 3e^{-4t}+e^{2t}.$$

Para determinar $y(t)$ , poderíamos resolver o sistema para $Y(s)$ e depois calcular sua transformada de Laplace inversa. Porém, é mais fácil apenas resolver a primeira equação no sistema para $y(t)$ em termos de $x(t)$ . Assim, $$y(t) = \frac{1}{2}x'(t)-2t.$$ Substituindo $x(t)$ descobrimos que $$y(t) = -6e^{-4t}+e^{2t}-2t.$$

A solução do problema de valor inicial consiste no par de funções $$x(t) = 3e^{-4t}+e^{2t} \qquad \text{e} \qquad y(t) = -6e^{-4t}+e^{2t}-2t.$$

EXEMPLO 2: Considere uma mistura de água e sal em um tanque que gera as seguintes equações: $$\left\{ \begin{array}{l} y_1′ = 0,08y_1+0,02y_2 + 6\\ \\ y_2′ = 0,08y_1 – 0,08y_2
\end{array} \right. $$ cujas condições iniciais são dadas por $y_1(0) = 0$ e $y_2(0) = 150$ .

Aplicando a transformada de Laplace obtemos $$\left\{ \begin{array}{l} (0,08 – s)Y_1 + 0,02Y_2 = \frac{6}{s}\\ \\ 0,08Y_1 + (-0,08 – s)Y_2 = -150 \end{array} \right. $$ o que nos leva à solução $$Y_1(s) = -\frac{1875\,s+30000}{625\,{s}^{3}+4950\,{s}^{2}-401\,s}$$ $$Y_2(s) = \frac{93750\,{s}^{2}-7500\,s-300}{625\,{s}^{3}+4950\,{s}^{2}-401\,s}$$ e aplicando a transformada de Laplace inversa, encontramos: $$y_1(t) = \frac{{e}^{-\frac{99\,t}{25}}\,\left( -\frac{1875046875\,\mathrm{senh}\left( \frac{\sqrt{10202}\,t}{25}\right) }{401\,\sqrt{10202}}-\frac{18750000\,\mathrm{cosh}\left( \frac{\sqrt{10202}\,t}{25}\right) }{401}\right) }{625}+\frac{30000}{401}$$ $$y_2 (t) = \frac{{e}^{-\frac{99\,t}{25}}\,\left( \frac{37406250\,\mathrm{cosh}\left( \frac{\sqrt{10202}\,t}{25}\right) }{401}-\frac{3815531250\,\mathrm{sinh}\left( \frac{\sqrt{10202}\,t}{25}\right) }{401\,\sqrt{10202}}\right) }{625}+\frac{300}{401}$$

De uma Equação Diferencial Ordinária para um Sistema de Equações

Suponhamos uma equação diferencial linear de ordem $n$ dada inicialmente como $$ y^{(n)}= -\frac{a_0}{a_n}y – \frac{a_1}{a_n}y’ – \ldots – \frac{a_{n-1}}{a_n}y^{(n-1)} + f(t) .$$ Introduzindo as variáveis $$ y = x_1, \;\;\; y’ = x_2, \;\;\; \ldots, \;\;\; y^{(n-1)} = x_n , $$ decorre que $$ y’ = x_1′ = x_2, \;\;\; y” = x_2′ = x_2, \;\;\; \ldots, \;\;\; y^{(n-1)} = x’_{n-1} =x_n \;\;\; y^{(n)} = x’_{n}. $$

Logo, por estas relações podemos verificar que um equação diferencial linear de ordem $n$ pode ser expressa como um sistema de equações de equações de primeira ordem com $n$ equações: \begin{eqnarray} x’_1 & = & x_2 \\ x’_2 & = & x_3 \\ x’_3 & = & x_4 \\ & \vdots & \\ x’_{n-1} & = & x_n \\ x’_n & = & -\frac{a_0}{a_n}x_1 – \frac{a_1}{a_n}x_2 – \ldots – \frac{a_{n-1}}{a_n}x_{n} + f(t). \end{eqnarray}

EXEMPLO 3: Reduzindo a equação de terceira ordem $$2 y”’ – 6 y” +4y’ +y = \text{sen}(t) $$ a um sistema de equações de primeira ordem encontramos \begin{eqnarray} x’ _1 & = & x_2 \\ x’ _2 & = & x_3 \\ x’ _3 & = & -\frac{1}{2} x_1 – 2 x_2 +3 x_3 + \frac{1}{2} \text{sen}(t) \end{eqnarray} ao fazermos $$ y = x_1, y’ = x_2, y”’ = x_3 .$$

Que, após aplicar a Transformada de Laplace no sistema, considerando as condições iniciais $$x_1 (0) = A, \qquad x_2 (0) = B, \qquad x_3 (0) = C,$$ nos leva a $$ \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -s & 1 & 0\\ 0 & – s & 0 \\ -1/2 & -2 & 3 -s \end{array} \right] ^{-1} \left[ \begin{array}{l} -A \\ – B \\ \frac{1}{2(s^2 +1)} – C \end{array} \right]$$ $$ \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}-\frac{1}{s} & -\frac{1}{{s}^{2}} & 0\cr 0 & -\frac{1}{s} & 0\cr \frac{1}{2\,{s}^{2}-6\,s} & \frac{4\,s+1}{2\,{s}^{3}-6\,{s}^{2}} & -\frac{1}{s-3}\end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} -A \\ – B \\ \frac{1}{2(s^2 +1)} – C \end{array} \right].$$

Efetuando a multiplicação de matrizes, encontramos \begin{eqnarray} X_1 (s) & = & \frac{A}{s} + \frac{B}{{s}^{2}} \\ X_2 (s) & = & \frac{B}{s} \\ X_3 (s) & = & \frac{-A}{2\,{s}^{2}-6\,s} -B \times \frac{4\,s+1}{2\,{s}^{3}-6\,{s}^{2}} – \frac{1}{s-3} \left( \frac{1}{2(s^2 +1)} – C \right)\\ & = & \frac{-A}{2\,{s}^{2}-6\,s} -B \times \frac{4\,s+1}{2\,{s}^{3}-6\,{s}^{2}} + \frac{\left( 2\,{s}^{2}+2\right) \,C-1}{2\,{s}^{3}-6\,{s}^{2}+2\,s-6} \end{eqnarray} e aplicando a Transformada de Laplace Inversa obtemos \begin{eqnarray} x_1 (t) & = & A + B \\ x_2 (t) & = & B \\ x_3 (t) &= & -A \left( \frac{{e}^{3\,t}}{6}-\frac{1}{6} \right) – B \left( \frac{13\,{e}^{3\,t}}{18}-\frac{t}{6}-\frac{13}{18} \right) + \\ & & + \frac{{e}^{3\,t}\,\left( 20\,C-1\right) }{20}+\frac{3\,\mathrm{sen}\left( t\right) }{20}+\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{20} \end{eqnarray}

Aplicações dos Sistemas de Equações Diferenciais por Transformada de Laplace

Agora, vamos falar sobre algumas aplicações elementares que envolvem sistemas de equações diferenciais. As soluções dos problemas que vamos considerar podem ser obtidas, seja pelos método da seção precedente seja pela aplicação da transformada de Laplace.

MOLAS ACOPLADAS

Duas massas $m_1$ e $m_2$ estão apenas a duas molas A e B de massa desprezível, com contantes $k_1$ e $k_2$ , respectivamente. Por sua vez, as duas molas estão unidas conforme mostra a figura abaixo:

Denotemos por $x_1(t)$ e $x_2(t)$ são deslocamentos verticais das massas em relação às duas posições de equilíbrio. Quando o sistema está em movimento, a mola B está sujeita tanto a um alongamento como a uma compressão; logo, seu alongamento toral é $x_2 - x_1$ . Decorre, portanto, da lei de Hooke, que as molas A e B exercem forças $$ -k_1 x_1 \text{ e } k_2 \left( x_2 – x_1 \right),$$ respectivamente, sobre $m_1$ .

Se nenhuma força externa atua sobre o sistema e se não existe qualquer força de amortecimento, então a força resultante sobre $m_1$ é $$-k_1 x_1 + k_2 \left( x_2 – x_1 \right).$$ Pela segunda lei de Newton, podemos escrever $$ m_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} = -k_1 x_1 + k_2 \left( x_2 – x_1 \right).$$

Analogamente, a força externa resultante sobre a massa $m_2$ é devida somente ao alongamento total de B; isto é, $$-k_2 \left( x_2 – x_1 \right),$$ decorrendo, assim, que $$ m_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} = -k_2 \left( x_2 – x_1 \right).$$

Em outras palavras, o movimento do sistema acoplado é representado pelo sistema de equações diferenciais de segunda ordem simultâneas \begin{eqnarray} m_1 x_{1} ”& = & -k_1 x_1 + k_2 \left( x_2 – x_1 \right)\\ \\ m_2 x_{2}” & = &-k_2 \left( x_2 – x_1 \right) \end{eqnarray} e este sistema pode ser resolvido usando a Transformada de Laplace.

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REDES ELÉTRICAS

Uma rede elétrica com mais de uma malha também dá origem a equações diferenciais simultâneas. Conforme vemos na ilustração abaixo, a corrente $i_1 (t)$ se bifurca nas direções indicadas no ponto $B_1$ , chamado ponto de ramificação da rede.

Pela primeira lei de Kirchhoff, podemos escrever $$ i_1 (t) = i_2 (t) + i_3 (t). \tag{1}$$ Além disso, podemo também aplicar a segunda lei de Kirchhoff a cada malha. Para a malha $A_1 B_1 B_2 A_2 A_1$ , somando as quedas de voltagem através de cada parte da malha, obtemos $$E(t) = i_1 R_1 + L_1 \frac{d i_2 }{dt}+ i_2 R_2.$$ Analogamente, para a malha $A_1 B_1 C_1 C_2 A_2 A_1$ , temos $$ E(t) = i_1 R_1 + L_2 \frac{d i_3 }{dt}.$$ Utilizando (1) para eliminar $i_1$ nas duas equações diferenciais, obtemos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem para as correntes $i_2 (t)$ e $i_3 (t)$ \begin{eqnarray} L_1 \frac{d i_2 }{dt} + (r_1 + R_2) i_2 + R_1 i_3 & = & E(t) \\ L_2 \frac{d i_3 }{dt} + R_1 i_2 + R_1 i_3 & = & E(t) \end{eqnarray}, onde dadas as condições iniciais adequadas podemos usar a Transformada de Laplace para solucionar.

Usando um raciocínio análogo, podemos mostrar que o sistema de equações diferenciais que descrevem as correntes $i_1 (t)$ e $i_2 (t)$ na rede que contém um resistor, um indutor e um capacitor conforme a figura abaixo,

Circuitos Rede Elétrica 2 — **Rede elétrica com um resistor, um indutor e um capacitor.**

é \begin{eqnarray} L \frac{d i_1 }{dt} + R i_2 + R_1 i_3 & = & E(t) \\ RC \frac{d i_2 }{dt} + i_2 – i_1 & = & 0 \end{eqnarray}.

Transformada de Laplace | Sistema Linear com Coeficientes Constantes

Entendo o Método por Sistemas de E.D.O.’s de 1ª Ordem

De uma Equação Diferencial Ordinária para um Sistema de Equações