Solução da Equação da Onda Usando a Transformada de Laplace

O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa na solução de EDO’s lineares e PVI’s correspondentes. Neste artigo vamos estender esta abordagem para as equações diferenciais parciais com condições iniciais, como os problemas associados à equação do calor e à equação da onda, nos dando uma abordagem alternativa ao uso da teoria de Fourier.

Definimos como $$\mathscr{L} \left\{ u(x,t) \right\} = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}u(x,t)dt} = U(x,s),$$ a transformada de Laplace de uma função de duas variáveis de u(x,t) em relação à variável t ; ali x é tratado como parâmetro. As mesmas propriedades que se aplicam às transformadas de funções de uma variável se mantem neste caso.

Desta forma, podemos estabelecer que $$\mathscr{L} \left\{ \frac{\partial u }{\partial t} \right\} = s U(x,s) – u(x,0) $$ $$\mathscr{L} \left\{ \frac{\partial^2 u }{\partial t^2} \right\} = s^2 U(x,s) – s u(x,0) – u_{t}(x,0).$$ Como esta transformação esta sendo feita em relação à variável t , observamos que $$\mathscr{L} \left\{ \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} \right\} = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}dt} =  \int_{0}^{\infty}{\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left[ e^{-st}u(x,t) \right]dt}=\\ = \frac{d ^2 }{d x^2} \int_{0}^{\infty}{e^{-st}u(x,t)dt} = \frac{d^2 }{d x^2}U(x,s) = \frac{d^2 U}{d x^2}.$$

Portanto, a transformada de Laplace é adequada a problemas com condições iniciais, como os problemas associados à equação do calor e à equação da onda, onde ela elimina a variável t e, para equações unidimensionais, as equações transformadas são então equações diferenciais ordinárias na variável espacial x . Ao resolver uma equação transformada, consideramos s como parâmetro.

Solucionando a Equação da Onda Usando a Transformada de Laplace

A equação da onda é dada por $$a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}, \qquad t>0$$ e usando as transformações estabelecidas anteriormente, ao aplicar a Transformada de Laplace na equação, obtemos $$ \mathscr{L} \left\{ a^2 \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} \right\} = \mathscr{L} \left\{ \frac{\partial^2 u }{\partial t^2} \right\}$$ se torna  $$a^2 \frac{d^2 U}{d x^2}-s^2 U = -s u(x,0)  – u_{t}(x,0).$$

EXEMPLO: Vamos resolver o problema $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}, \qquad 0<x<1, \qquad t>0,$$ sujeita às condições $$u(0,t) = 0, \qquad u(1,t) = 0, \qquad t>0 $$ $$u(x,0) = 0, \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \text{sen}(\pi x), \qquad 0 < x < 1$$.

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial parcial, encontramos $$ \frac{d^2 U}{d x^2}-s^2 U = -\text{sen}(\pi x)$$ onde U(x,s) = \mathscr{L} \left\{  u(x,t) \right\} . Como as condições de contorno são funções de t , devemos achar também as suas transformadas de Laplace: $$ \mathscr{L} \left\{  u(0,t) \right\} = U(0,s) = 0 \qquad \text{e} \qquad \mathscr{L} \left\{  u(1,t) \right\} = U(1,s) = 0,$$ que são as condições de contorno para a equação diferencial ordinária obtida após aplicar a Transformada de Laplace na equação da onda.

E como estas condições de contorno são definidas em um intervalo finito, obtemos $$U_c (x,s) = c_1 \text{cosh}(sx) + c_2 \text{senh}(sx)$$ e o método dos coeficientes indeterminados nos dá uma solução particular $$U_{p} (x,s) = \frac{1}{s^2 + \pi ^2} \text{sen}( \pi x ).$$ Logo, $$U(x,s) = c_1 \text{cosh}(sx)+c_2\text{senh}(sx) +  \frac{1}{s^2 + \pi ^2} \text{sen}( \pi x ).$$

Agora, aplicando as condições iniciais U(0,s) = 0 e U(1,s) = 0 dão, por sua vez, c_1 = 0 e c_2 = 0 . Concluímos, pois que $$U(x,s) = \frac{1}{s^2 + \pi ^2} \text{sen}( \pi x ).$$

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa encontramos $$u(x,t) =  \mathscr{L} ^{-1} \left\{\frac{1}{s^2 + \pi ^2} \text{sen}( \pi x ) \right\} = \frac{1}{\pi} \text{sen}( \pi x ) \mathscr{L} ^{-1} \left\{\frac{1}{s^2 + \pi ^2}  \right\} = \frac{1}{\pi} \text{sen}( \pi x ) \text{sen}( \pi t ) .$$

Portanto, nossa solução deste problema é $$u(x,t) =  \frac{1}{\pi} \text{sen}( \pi x ) \text{sen}( \pi t ) .$$

EXEMPLO: Uma corda muito longa esta inicialmente em repouso sobre a parte não negativa do eixo-x. A corda está fixa em x =0 e sua distante extremidade direita desliza sem atrito ao longo de um suporte vertical. A corda é posta em movimento quando a deixamos cair sobre seu peso. Determine o deslocamento u(x,t) .

Observe que como a força da gravidade é levada em conta, pode-se mostrar que a equação da onda tem a forma $$ a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} -g = \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}, \qquad t>0, x>0.$$ As condições iniciais e de contorno são, respectivamente, $$u(x,0) = 0, \qquad \frac{ \partial u}{\partial t}(x,0) = 0, \qquad x>0$$ $$u(0,t) = 0, \qquad \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{ \partial u}{\partial x}} = 0, \qquad  t >0.$$ A segundo condição de contorno \lim_{x \rightarrow 0}{\dfrac{ \partial u}{\partial x}} = 0 , indica que a corda é horizontal a uma grande distância da extremidade esquerda.

Aplicando a Transformada de Laplace na equação, obtemos $$ a^2 \mathscr{L} \left\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \right\} – \mathscr{L} \left\{ g \right\} = \mathscr{L} \left\{  \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} \right\}$$ $$a^2 \frac{d^2 U}{dx^2} – \frac{g}{s} = s^2 U – su(x,0)- u_{t}(x,0)$$ ou seja, $$ \frac{d^2 U}{dx^2} – \frac{s^2}{a^2} U = \frac{g}{a^2 s}$$

Agora, aplicando a Transformada de Laplace sobre as condições de contorno encontramos $$ \mathscr{L} \left\{  u(0,t) \right\} = U(0,s) = 0 \qquad \text{e} \qquad \mathscr{L} \left\{  \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{ \partial u}{\partial x}}) \right\} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{ \partial U}{\partial x}} = 0.$$ Com auxílio dos coeficiente indeterminados, obtemos a solução geral $$U(x,s) = c_1 e^{-(x/a)s} + c_2 e^{(x/a)s} – \frac{g}{s^3}.$$

A condição de contorno \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{ \partial U}{\partial x}} = 0   implica c_2 = 0 e U(0,s) dá c_1 = g/s^3 . Portanto, $$U(x,s) = \frac{g}{s^3} e^{-(x/a)s} – \frac{g}{s^3}.$$ Mas pelo segundo teorema de translação, temos $$u(x,t) = \mathscr{L} ^{-1} \left\{\frac{g}{s^3} e^{-(x/a)s} – \frac{g}{s^3} \right\} = \frac{1}{2} g \left(t-\frac{x}{a} \right)^2 u\left(t-\frac{x}{a} \right)- \frac{1}{2}g t^2.$$

Esta solução pode ser reescrita como $$u(x,t) = – \frac{1}{2} g t^2, \text{ se }  0 \leq t \leq x/a \qquad \text{ ou } \qquad u(x,t) = -\frac{g}{2 a^2}(2axt-x^2), \text{ se }   t \leq x/a .$$ Para interpretar a solução, suponhamos t >0 fixo. Para 0 \leq x \leq at a corda tem a forma de uma parábola que passa por (0,0) e \left( at, - \dfrac{1}{2} g t^2 \right) . Para x > at , a corda é descrita pela reta horizontal u = - \dfrac{1}{2} g t^2 , como podemos ver na figura abaixo:

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