Sistemas Lineares de Ordem 2: Métodos da Adição e da Substituição

Um guia completo de como resolver sistemas lineares de ordem 2, usando o método da adição e da substituição. Aprenda a resolver seu sistema de equações lineares de ordem 2 com facilidade e confiança!

O estudo dos sistemas de equações lineares é de fundamental importância em Matemática e nas ciências em geral. Neste artigo vamos ampliar seus conhecimento sobre sistemas lineares de ordem 2, aqueles com duas variáveis e duas equações, através de métodos que permitam resolver, quando possível, este tipo de sistema de equações lineares.

O que é um Sistema Linear no caso geral?

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma: $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +…+a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +…+a_{2n} x_n & = & b_2\\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 +…+a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{array} \right.  \qquad (1)$$ onde, cada um dos a_{ij}são os coeficientes, x_i são as incógnitas e b_i são os termos independentes. Uma sequencia de números (r_1,r_2,...,r_n), chamada é solução do sistema linear acima se satisfaz todas as equações do sistema ao mesmo tempo. Se m = n dizemos que o sistema linear é de ordem n .

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

1. Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.
2. Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução. Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução. Dois sistemas S_1 e S_2 equivalentes são denotados por S_1 \sim S_2.

Solução de Sistemas Lineares de Ordem 2

Chamamos de sistema linear de ordem 2 ao conjunto de duas equações que possuam duas incógnitas, consideradas simultaneamente. Todo sistema linear de ordem 2 admite a forma $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_1 x + b_1 y & = & c_1 \\ a_2 x + b_2 y & = & c_2 \\ \end{array} \right. $$

Um par \left( \alpha _1 , \alpha_2 \right) é solução do sistema linear de ordem 2 se, e somente se, for a solução das duas equações do sistema. Por exemplo, (3,4) é solução do sistema $$ \left\{ \begin{array}{lll}  x – y & = & -1 \\ 2 x +  y & = & 10 \\ \end{array} \right. $$ pois é solução para as duas equações ao mesmo tempo.

Quanto às soluções, um sistema de ordem 2 pode ter:

1. infinitas soluções, se for um sistema linear possível e indeterminado;
2. uma única solução, se for um sistema linear possível e indeterminado; e
3. não ter solução se for um sistema linear impossível.

Resolver um sistema linear de ordem 2 significa encontrar seu conjunto solução, caso ele existe. Existem duas formas de se resolver um sistema 2 por 2: o Método da Adição e o Método da Substituição.

O Método da Adição

O primeiro é o chamado método da adição e é um caso particular da eliminação Gaussiana que veremos mais abaixo. Nele multiplicamos a primeira equação por - \dfrac{a_2}{a_1} e somamos com a segunda equação, obtendo o sistema $$ \left\{ \begin{array}{lll} a_1 x + b_1 y & = & c_1 \\ \left( – \frac{a_2 b_1 }{a_1} + b_2\right) y & = & – \frac{a_2 c_1 }{a_1} + c_2\\ \end{array} \right. $$ Logo, teremos, da segunda equação, $$ y =  \frac{- \frac{a_2 c_1 }{a_1} + c_2}{- \frac{a_2 b_1 }{a_1} + b_2} $$ e da primeira equação $$ a_1 x + b_1 y  =  c_1 \Leftrightarrow x = – \frac{b_1 }{ a_1} \left( \frac{- \frac{a_2 c_1 }{a_1} + c_2}{- \frac{a_2 b_1 }{a_1} + b_2} \right)+ \frac{c_1}{a_1} .$$

O Método da Substituição

O segundo é o chamado método da substituição, que consistem em isolar uma das variáveis na primeira equação e substituir na segunda equação para que ela se torne uma equação em apenas uma variável. Por exemplo, isolando a variável x na equação $$a_1 x + b_1 y = c_1$$ no leva a $$x = \frac{c_1}{a_1} – \frac{b_1}{a_1} y.$$ Substituindo na segunda equação obtemos a equação que depende apenas de y dada por $$ a_2 \left( \frac{c_1}{a_1} – \frac{b_1}{a_1} y \right) + b_2 y = c_2  .$$ Obtendo o valor de y , basta substituir na fórmula de x e encontrar a solução do sistema.

EXEMPLO: Para exemplificar vamos resolver o sistema de ordem 2 abaixo usando os dois métodos: $$ \left\{ \begin{array}{lll}  2x +3y & = & 8 \\ x  –  y & = & -1 \\ \end{array} \right. $$

1º: Usando o Método da Substituição:

$$ \left\{ \begin{array}{rll}  2x +3y & = & 8 & \qquad (1) \\ x  –  y & = & -1 & \qquad (2) \\ \end{array} \right. $$ Da equação (2), obtemos que $$x = y-1,$$ e substituindo na equação (1) obtemos $$2(y-1)+3y = 8 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2 .$$ Agora, fazendo y = 2 na equação (1), por exemplo, obtemos $$2x+3 \times 2  = 8 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1.$$ Portanto, (1,2) é o conjunto solução deste sistema linear de ordem 2.

2º Usando o Método da Adição:

$$ \left\{ \begin{array}{rll}  2x +3y & = & 8 & \qquad (1) \\ x  –  y & = & -1 & \qquad (2) \\ \end{array} \right. $$

Multiplicando a equação (2) por 3 e adicionando, membro a membro, com a equação (1), obtemos o sistema equivalente $$ \left\{ \begin{array}{rll}  2x +3y & = & 8  \\ 5x  & = & 5 \\ \end{array} \right. $$ que nos diz, pela segunda linha, que x =1 . Agora, fazendo x =1 na equação (1), por exemplo, obtemos $$ 2\times 1 + 3y  = 8 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2.$$ Portanto, (1,2) é o conjunto solução deste sistema linear de ordem 2

Sistemas Lineares de Ordem 2 com Infinitas Soluções

Quando uma equação de um sistema linear de ordem 2 puder ser obtida multiplicando-se a outra por um número real diferente de zero, ao tentarmos resolver o sistema, chegamos a uma igualdade que é sempre verdadeira, independente das incógnitas. Neste caso, temos apenas uma equação linear em duas variáveis nos dando infinitos pares ordenados que são soluções do sistema e representam, graficamente, os pontos de uma reta no plano.

Para ilustrar este conceito vamos considerar o sistema linear de ordem 2 $$ \left\{ \begin{array}{rll}  2x +3y & = & 8 & \qquad (1) \\ -4x  –  6y & = & -16 & \qquad (2) \\ \end{array} \right. .$$ Note que multiplica a primeira equação por -2 obtemos a equação (2). Resolvendo o sistema pelo método da substituição, da equação (1) temos que $$y = \frac{8 – 2x}{3} $$ e substituindo na equação (2) encontramos a expressão verdadeira -16 = \; - 16 . Desta forma, podemos afirmar que $$ \left\{ \left( x,  \frac{8 – 2x}{3} \right); x \in \mathbb{R} \right\}$$ será o conjunto solução deste sistema linear. Logo, este sistema será possível e indeterminado.

Sistemas de Ordem 2 com Nenhuma Solução

Quando duas equações lineares possuem os mesmos coeficientes, porém os termos independentes são diferentes, dizemos que não existe solução comum para as duas equações, pois, substituindo uma na outra, obtemos uma igualdade sempre falsa. O mesmo ocorre quando os respectivos coeficientes de cada variável são múltiplos, mas os termos independentes não.

Por exemplo, considere o sistema $$ \left\{ \begin{array}{rll}  x +2y & = & 5 & \qquad (1) \\ 2x  + 4y & = & 7 & \qquad (2) \\ \end{array} \right. .$$ Multiplicando a equação (1) por -2 e somando com a equação (2) obteremos a igualdade 0 = -3 , que é falsa! Logo este sistema será impossível, pois esta igualdade falsa nos diz que não existe par ordenado que seja solução do sistema.

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