Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Uma série de potências é uma série de funções dada por $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n},$$ onde (a_n) é uma sequência de números reais. Esse série de potências converge em um ponto x se o limite $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\sum_{n=0}^{m}{a_n (x-x_0)^n}}$$ existe para esse x.

Existem vários testes para verificar a convergência de séries de potências. Um dos mais úteis é o chamado Teste de D’Alembert ou Teste da Razão: Se a_n \neq 0 e $$\lim_{n \rightarrow \infty}{\left| \frac{a_{n+1}(x-x_0)^{n+1}}{a_n(x-x_0)^n} \right|} = L$$ existe, temos que

1. 1. se L <1 então a série é convergente;
   2. se L> 1 então a série é divergente;
   3. se L=1 então o teste é inconclusivo.

O teste da razão nos diz ainda que uma série além de convergir esta convergência é absoluta, ou seja, que a série $$\sum_{n=0}^{\infty}{\left| a_n (x-x_0)^n\right|}$$ também converge.

Um tipo de série de potências são as chamadas séries de Taylor em torno de x=x_0, cujo a_n é dado por $$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$ Portanto, toda função que possua derivadas de qualquer ordem no ponto x_0 possui sua representação em série de potências dada por $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n}.$$ Quando x_0 = 0 a série se chama Série de Maclaurin.

Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Estude a convergência das Séries de Potências abaixo:

a) \sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{x^{n}}{n! \times n}}

SOLUÇÃO: Usando o Teste da Razão, observamos que $$ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}{\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)! (n+1)} }{ \frac{x^n}{n! n } } } = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)! (n+1)} \frac{n! n}{x^n}  } = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}{\frac{n x }{ (n+1) ^2} } = x \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}{1/n} = 0 .$$ Portanto, como o limite é menor que 1 podemos concluir que esta série converge. Observe que o limite calculado em módulo, não se altera, o que nos leva à conclusão de que esta série converge absolutamente.

Leia Mais:

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• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência
• Séries de Fourier | História, Definição e Condições de Convergência.

Livros Indicados Sobre o Tema:

1. “Um Curso de Cálculo, vol. 4”. Hamilton Luiz Guidorizzi – Link para o livro.
2. “Cálculo – Vol. 2”. Munem e Foulis. – Link para o livro
3. “Cálculo – vol. II”. James Stewart – Link para o livro.

Video-Aula Sobre Séries de Potências: