Sequências Monótonas de Números Reais

Uma sequência numérica é dita finita se ela tiver um último número, caso contrário ele é denominada infinita. Uma sequência é uma função f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos $$\mathbb{N}={1,2,3,4,5,…}.$$

Tendo em mente que o domínio de todas as sequências é o mesmo, utilizamos a notação \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} para indicar a sequência f(n), onde f(n)=a_n. Desta forma, $$\left(a_n\right)_{\mathbb{N}} = \left( a_1, a_2, a_3, … \right)$$ Se denotamos f(n) por x_n, então a seqüência f estará unicamente determinada pela lista de números \{x_1,x_2,x_3,\ldots\} ou, abreviadamente, por \{x_n\}.

Desta forma, adotaremos a notação \{x_n\} ou \{x_1,x_2,x_3,\ldots\} para representar uma seqüência. O número x_n é chamado elemento de uma seqüência e o conjunto imagem de f, Im(f), é chamado conjunto dos valores de uma seqüência.

Como uma seqüência é uma função particular, então estão definidas as operações de soma, multiplicação por escalar, produto e quociente de seqüências. Agora, vamos trabalhar com uma classe importante de sequência para o estudo do cálculo.

Sequências Monótonas

DEFINIÇÃO[Sequência Monótona]

Uma sequência \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} é:

1. 1. crescente se a_n \leq a_{n+1} para todo n.
   2. decrescente se a_n \geq a_{n+1} para todo n.

Uma sequência que seja crescente ou decrescente é denominada monótona.

EXEMPLO

Vamos estudar a monoticidade de cada uma das sequências seguintes:

1) \left(\frac{n}{2n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Os elemnetos desta sequência são $$\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, …, \frac{n}{2n+1},\frac{n+1}{2n+3},…$$ que nos impelem a acreditar que a sequência é monótona crescente. De fato,

$$\frac{n}{2n+1} \leq \frac{n+1}{2n+3} \Rightarrow 2n^2+3n \leq 2n^2+3n+1 \Rightarrow 0 \leq 1.$$

2) \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Os elemnetos desta sequência são $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, …, \frac{1}{n},\frac{1}{n+1},…$$ que nos impelem a acreditar que a sequência é monótona decrescente. De fato, sempre teremos que $$ \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$$ para todo n inteiro positivo.

TEOREMA

Toda sequência monótona e limitada é convergente.

EXEMPLO

Verifique se a sequência \left(\frac{2^n}{n!}\right)_{n \in \mathbb{N}} é convergente.

Os elementos da sequência são dados por $$\frac{2^1}{1!}, \frac{2^2}{2!}, \frac{2^3}{3!} ,\frac{2^4}{4!} ,\frac{2^5}{5!},…,\frac{2^n}{n!},\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}… = 2,2,\frac{4}{3}, \frac{2}{3},…$$ onde percebemos que a sequência pode ser decrescente. Temos que,

$$\frac{2^n}{n!} \geq \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \Rightarrow 2^n (n+1)! \geq 2^{n+1} n! \Rightarrow n+1 \geq 2$$

e como, para todo inteiro positivo n, n+1 \geq 2, a sequência é monótona decrescente. Portanto, como 2 \geq \frac{2^n}{n!} >0, então a sequência é também limitada. Portanto, pelo teorema enunciado previamente, a sequência é convergente.

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