Sequências Infinitas de Números Reais

Sem dúvida, em estudos anteriores, você já se deparou com algumas sequências numéricas. Por exemplo, a sequência 2,4,6,8,10,... é a sequência dos números pares diferentes de zero. Um outro exemplo famoso é o da sequência de Fibonacci, 1,1,2,3,5,8,13,21,..., que é obtida pela soma dos dois números anteriores da sequência.

Uma sequência numérica é dita finita se ela tiver um último número, caso contrário ele é denominada infinita. Nosso interesse maior é estudar as sequências infinitas, por sua larga aplicação no Cálculo Diferencial e Integral. Sendo assim, salvo quando especificado do contrário, todas as nossas sequências serão infinitas.

Definindo Sequências Numéricas

DEFINIÇÃO[Sequência]: Uma sequência é uma função f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos $$\mathbb{N}={1,2,3,4,5,…}.$$

EXEMPLO: f(n) = \frac{n}{2n+1} é uma sequência dada por $$\left\{ \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7},… \right\}.$$ Os elementos da sequência definida por f são \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7} e assim sucessivamente.

Em geral, quando os elementos da sequência são listados em ordem indicamos o n-ésimo termo da sequência. Deste modo, os elementos da sequência são dados por $$\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7},…, \frac{n}{2n+1}, …$$

Tendo em mente que o domínio de todas as sequências é o mesmo, utilizamos a notação \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} para indicar a sequência f(n), onde f(n)=a_n. Desta forma, $$\left(a_n\right)_{\mathbb{N}} = \left( a_1, a_2, a_3, … \right)$$

Note que cada número natural é levado em um único número real
$$
\begin{array}{ccc}
\mathbb{N} &\stackrel{f}{\to} &\mathbb{R}\\
1&\mapsto &f(1)\\
2&\mapsto &f(2)\\
3&\mapsto &f(3)\\
\vdots&\phantom{\to}&\vdots
\end{array}
$$

EXEMPLO: Temos que:

1. f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} dada por f(n)=n ou \{n\} ou \{0,1,2,3,\ldots\} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é \mathbb{N}.
2. f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} dada por f(n)=\dfrac{1}{n+1} ou \left\{\dfrac{1}{n+1}\right\} ou \left\{1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\ldots\right\} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é \left\{1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\ldots\right\}.
3. f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} dada por f(n)=(-1)^n ou \{(-1)^n\} ou \{1,-1,1,-1,\ldots\} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é \{1,-1\}.
4. f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} dada por f(n)=\dfrac{n}{n+1} ou \left\{\dfrac{n}{n+1}\right\} ou \left\{0,\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\ldots\right\} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é \left\{0,\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\ldots\right\}.
5. f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} dada por f(n)=r^n ou \{r^n\} ou \{1,r,r^2,r^3,\ldots\} é uma seqüência cujo conjunto dos valores é \{1,r,r^2,r^3,\ldots\} (progressão geométrica).

Dizemos que duas sequências \left(a_n\right)_{\mathbb{N}} e \left(b_n\right)_{\mathbb{N}} são iguais se, e somente se, a_i = b_i, para todo inteiro positivo i. Ou seja, duas sequências são iguais se possuem os mesmo elementos ordenados da mesma maneira.

Observe que duas sequências pode conter os mesmo elementos e ainda assim ser diferentes. Isto ocorre quando os elementos são os mesmo, mas a ordenação é diferente.

EXEMPLO: As sequências $$\left(a_n\right)_{\mathbb{N}} = \left(\frac{1}{n} \right)_{\mathbb{N}} = \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, …, \frac{1}{n} \right)$$ e $$\left(b_n\right)_{\mathbb{N}} = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{2}{n+2}; & néímpar\\
\\
1; & népar
\end{array} \right. = 1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{4}, …$$ possuem os mesmos elementos que são dados por $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, …,$$, porém, como estão ordenados de maneira diferente as sequências são diferentes.

Subsequências de Números Reais

Se h:\mathbb{N}\to \mathbb{R} for uma função estritamente crescente e f:N\to \mathbb{R} for uma seqüência, então a função f\circ h:\mathbb{N}\to \mathbb{R} será dita uma subseqüência de f.

EXEMPLOS:

1. Sejam h(n)=2n e \{x_n\} uma seqüência. Então \{x_{2n}\} é uma subseqüência de \{x_n\} chamada subseqüência dos pares.
2. Seja h(n)=2n+1 e \{x_n\} uma seqüência. Então \{x_{2n+1}\} é uma subseqüência de \{x_n\} chamada subseqüência dos ímpares.
3. Seja h(n)=n+p, p\in \mathbb{N}, e \{x_n\} uma seqüência. Então \{x_{n+p}\} é uma subseqüência de \{x_n\}.
4. A subseqüência dos pares (ímpares) da seqüência \{(-1)^n\} é a seqüência constante \{1\} (respectivamente \{-1\}).

Sequências Limitadas

Uma seqüência será dita limitada se o seu conjunto de valores for limitado. Caso contrário, a seqüência será dita ilimtada. Ou seja \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} será uma sequência limitada, se, e somente se, existe \delta > 0 tal que \left| a_n \right| \leq \delta, \forall n \in \mathbb{N}.

EXEMPLOS: 

1. A seqüência \left\{\dfrac{n}{n+1}\right\} é limitada.
2. A seqüência \{(-1)^n\} é limitada.
3. A seqüência \left\{\cos\dfrac{1}{n}\right\} é limitada.
4. A seqüência \{n\} é ilimitada.

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