Descubra como utilizar razões e proporções para resolver problemas cotidianos. Este post explora conceitos como regra de três, cálculo de porcentagens, juros simples e médias, fornecendo uma visão clara de suas aplicações práticas na vida real e na matemática financeira.
Introdução
No universo da matemática, razões e proporções formam a base para entender e solucionar uma vasta gama de problemas práticos e teóricos. Desde calcular descontos e juros até resolver complexas questões de matemática financeira, esses conceitos são indispensáveis.
Neste post, mergulharemos nas propriedades das razões e proporções, explorando desde a regra de três simples e composta até o cálculo de médias e juros. Vamos descomplicar esses conceitos com exemplos claros e precisos, facilitando sua aplicação no dia a dia e ampliando seu entendimento sobre essenciais ferramentas matemáticas.
Razão e Proporção
Razão: Chama-se razão de um número racional por outro (diferente de zero) o quociente exato do primeiro pelo segundo. De um modo geral indicamos a razão das seguintes maneiras: a : b ou \dfrac{a}{b} (lê-se: a para b). Por exemplo, 5 : 1 ou \dfrac{5}{1}.
Razões inversas: Dá-se o nome de razões inversas a duas razões que tem o produto igual a 1 (um). Por exemplo:\dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{4} = 1.
Razões iguais: Duas razões são iguais quando as frações que representam estas razões forem equivalentes. Por exemplo, \dfrac{10}{5} \sim \dfrac{4}{2}.
Proporção: É uma igualdade entre duas razões. Por exemplo, \dfrac{10}{5} = \dfrac{4}{2}.
Propriedades Básicas das Proporções
- Propriedade fundamental: Na seguinte proporção \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} ou a : b = c : d, chamaremos: a e d — extremos da proporção, b e c — meios da proporção. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. $$ a \cdot d = b \cdot c \qquad (a, b, c, d ≠ 0).$$
- Propriedade Recíproca: Quando, foram dados quatro números: a, b, c, d, todos diferentes de zero, tais que a \cdot d = c \cdot b, é possível se armar a proporção: $$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}.$$
- Propriedade de Permutas e Inverte: Uma proporção não se altera quando permutamos: os meios: $$\frac{10}{5} = \frac{4}{2} \Rightarrow \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ ou os extremos: $$ \frac{10}{5} = \frac{4}{2} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{4}{10}$$ ou quando invertemos as razões: $$ \frac{5}{10} = \frac{2}{4}.$$
- Cálculo de x (termo desconhecido) numa proporção: \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x} \Rightarrow x = \dfrac{b \cdot c}{a} . Por exemplo: \dfrac{x}{13} = \dfrac{5}{10} \Rightarrow x = \dfrac{5 \cdot 13}{10} = 6,5
Médias (3º e 4º Proporcionais)
Proporção contínua: quando a proporção tiver os meios iguais. Por exemplo, \dfrac{4}{8} = \dfrac{8}{16}
Média geométrica: Numa proporção contínua, o meio denominado média proporcional ou média geométrica dos extremos. Portanto no exemplo acima 8 é a média proporcional entre 4 e 16. O quarto termo de uma proporção contínua é chamado de terceira proporcional. Assim, no nosso exemplo, 16 é a terceira proporcional depois de 4 e 8.
Para se calcular a média proporcional ou geométrica de dois números, teremos que calcular o valor do meio comum de uma proporção contínua. Por exemplo, \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{16} \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8
4.º proporcional: é o nome dado ao quarto termo de uma proporção não contínua. Por exemplo, \dfrac{4}{8} = \dfrac{12}{x} \Rightarrow x = \dfrac{8 \times 12}{4} = \dfrac{96}{4} = 24 .
Nota: Esse cálculo é idêntico ao cálculo do elemento desconhecido de uma proporção.
Média Aritmética Simples: ( m_a) A média aritmética simples de dois números é dada pelo quociente da soma de seus valores pela quantidade das parcelas consideradas. Por exemplo, vamos determinar ( m_a) de: 4, 8, 12, 20: $$ m_a = \frac{4 + 8 + 12 + 20}{4} = \frac{44}{4} = 11 .$$
Média Aritmética Ponderada: ( m_p) A média aritmética ponderada de vários números ou fatos são atribuídos pesos (que indicam o número de vezes que tais números figuraram) consiste no quociente da soma dos produtos — que se obtém multiplicando cada número pelo peso correspondente, pela soma dos pesos.
Por exemplo, No cálculo da média final obtida por um aluno durante o ano letivo, usamos a média aritmética ponderada, segundo a seguinte:Matérias: Português 60,0, Matemática 40,0, História 70,0. Pesos: Português 5, Matemática 3, História 2. $$ m_p = \frac{60.5 + 40.3 + 70.2}{5 + 3 + 2} = \frac{300 + 120 + 140}{10} = 56. $$
Transformação das Proporções
As transformações que uma proporção pode sofrer já foram analisadas no início deste capítulo (permutações de meios e extremos e inversão). Portanto, proporção transformada é o modo pelo qual é expressa uma proporção, através das várias maneiras possíveis.
Propriedades da Adição: Em toda a proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro (ou segundo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou quarto). $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \text{ ou } \frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c}.$$
Propriedade da Subtração: em toda proporção que tem um antecedente maior que o consequente, a diferença entre o primeiro e o segundo termo está para o primeiro (ou o segundo), assim como, a diferença entre o terceiro e o quarto está para o terceiro (ou quarto). $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} \text{ ou } \frac{a-b}{a} = \frac{c-d}{c},$$ para a> b e c > d .
Propriedade da adição dos antecedentes e consequentes: Em toda a proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu consequente. Por exemplo, permutando-se \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} vem:$$ \frac{10}{5} = \frac{4}{2} \rightarrow \frac{10+5}{5} = \frac{4+2}{2}$$, vem: $$\frac{10+4}{5+2} = \frac{4+2}{2+2}. $$ De forma geral, $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} \text{ ou } \frac{c}{d}.$$
Propriedade da subtração de antecedentes e consequentes: Em toda proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu consequente. Matematicamente falando $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b} \text{ ou } \frac{c}{d} .$$
Números e Grandezas Proporcionais
Considerando-se duas sucessões de números a, b, c, d, ... e a', b', c', d', ... estas sucessões serão proporcionais ou diretamente proporcionais, se a razão entre dois números correspondentes for sempre a mesma, isto é: $$ \frac{a’}{a} = \frac{b’}{b} = \frac{c’}{c} = \frac{d’}{d} = \ldots = K .$$ K será um valor numérico que receberá o nome de coeficiente de proporcionalidade.
Por exemplo, duas sucessões: 3, 4, 6 e 12, 16, 24 , são diretamente proporcionais, pois: $$ \frac{12}{3} = 4, \qquad \frac{16}{4} = 4, \qquad \frac{24}{6} = 4 . $$
Dois números serão inversamente proporcionais quando o produto dos números correspondentes nas duas sucessões for sempre o mesmo. Considerando-se a mesma suposição do dada anteriormente, temos: \dfrac{a}{1/a'} \cdot \dfrac{b}{1/b'} \cdot \dfrac{c}{1/c'} \cdot \ldots = K, donde a \cdot a' = b \cdot b' = c \cdot c' = \ldots = K.
Por exemplo, vamos dividir 118 em partes inversamente proporcionais a 2, 5, 7. Considerando a + b +c = 118 temos: \dfrac{a}{1/2} = \dfrac{b}{1/5} =\dfrac{c}{1/7} . Como \text{m.m.c. (2, 5, 7) = 70}, obtemos $$ \frac{a}{\frac{35}{70} } = \frac{b}{\frac{14}{70}}= \frac{c}{\frac{10}{70}} .$$ Assim, $$ \frac{a}{35} = \frac{b}{14} = \frac{c}{10} = \frac{118}{59} .$$ Logo $$ \frac{118}{59} = \frac{a}{35} \Rightarrow a = \frac{118 \cdot 35}{59} = 70 . $$
Analogamente, b = 28 e c = 20 .
Grandezas proporcionais: Chama-se razão entre duas grandezas (de mesma espécie) a razão dos números que exprimem suas medidas relativas à mesma unidade de medida.
Escala: Chama-se escala de um desenho a razão entre um comprimento considerado no desenho e o comprimento real. Indica-se por: \text{escala } = 1 : 400 \text{ ou } 1/400.
Regra de Três Simples
Grandezas Diretamente Proporcionais: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais se ao dobrar, ao triplicar, ao quadruplicar… de uma, corresponder à mesma proporção de aumento, ou diminuição da outra.
Exemplo 1: Certa máquina produz 90 peças metálicas trabalhando durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora e 20 minutos?
Nota: 1 hora = 60 minutos; 1 hora e 20 minutos = 80 minutos.
Daí, $$ x = \frac{90 \text{ peças} \times 80 \text{ min}}{50 \text{ min}} = 144 \text{ peças} .$$
Como percebemos, as quatro grandezas formaram a seguinte proporção: $$\frac{90}{x} = \frac{50}{80} $$ e x é extraído pelo processo de determinação do termo desconhecido de duas proporções.
Grandezas Inversamente Proporcionais: Duas grandezas dependentes são inversamente proporcionais se ao dobro, ao triplo, ao quádruplo, …, de uma corresponder à metade, à terça parte, à quarta parte, …, da outra.
Exemlo 2: 8 máquinas iguais fabricam certo número de peças em 15 dias; em quantos dias 12 máquinas iguais às primeiras fabricam o mesmo número de peças?
Como as flechas estão em sentido contrário, então as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, \dfrac{15}{x} = \dfrac{12}{8} \Rightarrow 12 x = 15 \cdot 8 \Rightarrow x = \dfrac{120}{12} = 10. Resposta: x = 10 dias.
Porcentagem
Porcentagem: Por cento ou razão centesimal é toda a razão com o consequente igual a 100. Por exemplo, \dfrac{7}{100}, \dfrac{25}{100}, \dfrac{300}{100} são razões centesimais. Outra representação para estas razões é a seguinte: Por exemplo, 7%; 25%; 300% que se lê sete por cento, vinte e cinco por cento, trezentos por cento.
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Conversão de uma razão centesimal numa razão comum: Para efetuarmos essa operação basta simplificar os termos da razão, se possível. Por exemplo, 25\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} = 0.25.
Converter uma razão comum numa razão centesimal: Para isto basta multiplicarmos o numerador e denominador por uma fração que tenha 100 por antecedente e o numerador da fração que se quer converter por consequente. Por exemplo, \dfrac{3}{4} = 0,75 \times 100% = 75\%.
Regra de Três Composta
Vamos estudar esta regra através de um problema resolvido: Em 6 horas, três teares fabricam 180 metros de tecido. Em quanto tempo 5 teares, com o mesmo rendimento que o primeiro, produzirão 50 metros?
Resolução: Tomar-se-á como referência a grandeza que apresentar o elemento procurado. Concluí-se do seguinte modo reordenando-se as demais grandezas (máquinas e metros) para auxiliarão diretamente ou inversamente proporcionais a grandeza que possui x. Para auxiliar na resolução coloque I nas grandezas inversamente proporcionais e D nas diretamente proporcionais.
Por exemplo, \dfrac{6}{x}; \dfrac{3}{5}; \dfrac{180}{5}; desta forma 5 e 180 serão denominadores de x , 6,3 e 50 serão os numeradores de x , ou seja \dfrac{6 \times 3 \times 50}{5 \times 180} = 1, ou seja x será igual a 1 hora.
Juros Simples e Montante
Juros Simples: toda vez que se empresta oficialmente uma quantia, por um determinado tempo, recebe-se uma compensação em dinheiro. Essa compensação recebe o nome de juros (J). É fácil perceber que o juro é uma grandeza variável, diretamente proporcional ao capital, à taxa e ao tempo.
Por exemplo, Qual será o juro produzido de R$ 500,00 emprestados a 10% ao ano durante três anos. $$ J = \frac{c \cdot i \cdot t}{100%} = \frac{500 \cdot 10% \cdot 3}{100%} = 150 $$ Portanto, o juros produzido será de R$ 150,00 em três anos.
Fórmula Prática
Chamando t de tempo, i de taxa, e c de capital, pode ser obtido, pela seguinte fórmula: $$ J = \frac{c \cdot i \cdot t}{100%} . $$
Observação: t poderá ser considerado em dias, meses, ou anos, enquanto que i será sempre anual. Portanto, o numerador da fórmula será:
- 36.000 — t dado em dias
- 1.200 — t dado em anos
- 100 — t dado em meses
Cálculo Montante: (M)
Montante é o valor do capital acrescido de juros.
$$ M = c + j \Rightarrow M = c + \frac{c \cdot i \cdot t}{100}$$ $$ M = \frac{c(100 + it)}{100}$$
Conclusão
Dominar razões e proporções abre portas para solucionar variados problemas matemáticos com confiança. Esperamos que este guia tenha esclarecido esses conceitos e suas aplicações, tornando a matemática mais acessível e prática para todos.
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