Progressões | P.A., P.G., Sequências e Séries Numéricas

Talvez o mais comum exemplo de sequência numérica seja a progressão – aritmética (P.A.) ou geométrica (P.G.). Uma sequência é uma função f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos $$\mathbb{N}={1,2,3,4,5,…}.$$ Uma sequência numérica é dita finita se ela tiver um último número, caso contrário ele é denominada infinita.

A progressão aritmética (P.A.) é a sequência cuja diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma. Sua lei de formação é recorrente e é necessário que se conheça um primeiro termo e a sua razão (diferença entre os termos). Desta forma, sendo a_1 seu primeiro termo e r a razão da progressão, a sequência formada pela P. A. é dada pelo seu termo geral $$a_n = a_1 +(n-1)r.$$

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo. Este quociente é denominado razão da progressão geométrica e é denotado por q.

Assim como a progressão aritmética, toda P.G. é uma sequência formada por uma recorrência, ou seja, é necessário conhecer o seu primeiro termo. Desta forma, seu termos são dados pelo seu termo geral $$a_n = a_1 . q^{n-1}.$$

EXEMPLO:

1) Considere a P.A. de termo inicial 0 e razão \dfrac{1}{2}.   Neste caso, a sequência \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} é dada por $$\left(\frac{n-1}{2}\right)_{n \in \mathbb{N}} = (0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, …).$$ Note que \lim{\dfrac{n-1}{2}} = + \infty. Ou seja, esta progressão diverge. Em geral, a sequência gerada por uma P.A. diverge.

2) Considere a P. G. de termo inicial 1 e razão \dfrac{1}{2}.  A sequência gerada por esta progressão geométrica é dada por $$a_n = 1. \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}.$$ Note que \lim{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}} = 0. Portanto, esta P.G. converge para meio. Entretanto, se q=2 teríamos a_n = 2^{n-1} e \lim{2^{n-1}} = +\infty.  Em geral se q<1 a P.G. converge e se q>1 a P. G. diverge.

É interessante lembrar que as progressões possuem classificação muito similar às sequências numéricas de acordo com a sua natureza:

1. Constantes – cada termo é igual ao anterior (q=1)
2. Crescentes – cada termo é maior que o anterior
3. Decrescentes – cada termo é menor que o anterior
4. Alternantes – cada termo tem sinal contrário ao anterior (q<0). Sendo esta uma classificação que só faz sentido quando estamos falando de P. G’s.

A Soma dos Termos de Uma Progressão como Uma Série Numérica

Uma questão imediata é quanto a soma dos termos de uma progressão. Para uma progressão aritmética, sabemos que seu termo geral é dado por $$a_n = a_1 +(n-1)r,$$ ou seja, a soma de seus termos seria $$\sum^{\infty}_{n=1}{a_n} = \sum^{\infty}_{n=1}{(a_1 +(n-1)r)} = \sum^{\infty}_{n=1}{a_1}+r\sum^{\infty}_{n=1}{(n-1)}$$ que nos fornece uma série divergente.

Já no caso da progressão geométrica, teríamos uma série dada por $$\sum^{\infty}_{n=1}{a_n} = \sum^{\infty}_{n=1}{ a_1 . q^{n-1}}$$ que é uma série geométrica cujas condições de convergência já são conhecidas.

OBSERVAÇÃO: Uma série na forma $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{ar^{n-1}} = a+ ar+ ar^2+…+ar^{n-1} + …$$ é denominada série geométrica. A série geométrica converge e a soma é dada por $$\frac{a}{1-r}$$ se |r|<1, e diverge se |r|\geq 1.

EXEMPLO: Vamos expressar a dízima 0,3333333333... como uma fração. Note que $$0,33333…= \frac{3}{10}+ \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + … + \frac{3}{10^n}+ … = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{3}{10}\frac{1}{10^{n-1}}}.$$ Como \dfrac{1}{10}<1 , então esta série geométrica representa a soma dos termos da P.G. com termo inicial 0.3 e razão 0.1, e converge para $$\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}= \frac{1}{3}.$$

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