Os problemas do milênio. Os sete problemas de matemática que valem um milhão de dólares. Sete problemas de matemática para o Século XXI. Todas essas são formas de se referir ao mesmo desafio lançado em 24 de maio de 2000 pelo Clay Mathematics Institute.
Apresentados no College de France, em Paris, onde no século anterior David Hilbert tinha proposto vinte e três problemas insolúveis da matemática naquele tempo (o mais conhecido deles sendo o Teorema de Fermat), os sete problemas maiores da matemática contemporânea foram apresentados e oferecidos um milhão de dólares para cada solução encontrada.
O Clay Mathematics Institute foi fundado em 1998, pelo empresário norte-americano London T. Clay com o objetivo de “aumentar e disseminar o conhecimento da matemática”.
O Clay é apoiado pelos maiores centros de pesquisa do mundo que sustentam um fundo de sete milhões de dólares que premiará cada uma das soluções oferecidas.
Francesc Castellà, um dos pesquisadores que busca a solução de um dos problemas aconselhou quem quiser perseguir a glória eterna na ciência através destes desafios da matemática:
“Para resolver um destes problemas, precisas de dedicação absoluta. As grandes coisas não se conseguem por acaso. Quando enfrentas um problema tão complicado, a que tão grandes mentes dedicaram o seu tempo e fracassaram, se queres chegar mais longe tens de recorrer a esses mesmos caminhos sem retorno e talvez mais. É impossível chegar tão longe dedicando-se parcialmente.”
Agora vamos conhecer, superficialmente, os sete problemas de matemática do século XXI que valem um milhão de dólares cada.
| Assista o vídeo no nosso canal sobre estes sete problemas milionários de matemática: |
Sete Problemas de Matemática Avançada
A lista de problemas a serem resolvidos no Século XXI possui alguns dos problemas propostos por David Hilbert junto com outros recém-chegados, nascidos das necessidades tecnológicos desenvolvidas ao longo do Século XX.
A grande maioria dos problemas envolve matemática avançada, o que limita as possibilidades de explorá-los aqui nesse artigo de forma profunda.
Conjectura de Poincaré: O Problema Resolvido
Dos sete problemas, um já foi resolvido, mas o seu solucionador recusou o prêmio.
Formulada pelo francês Henri Poincaré em 1904, a Conjectura de Poincaré foi demonstrada em 2003 pelo russo Grigori Perelman, que além de recusar o prêmio milionário, também recusou ser laureado com a Medalha Fields (a mais alta condecoração no mundo da matemática).
Perelman teria dito que seria injusto receber a quantia, já que usara o trabalho do americano Richard Hamilton (1943-). Hamilton concordou, inclusive exigindo metade do dinheiro.
O valor do prêmio foi então usado para financiar a Cátedra Poincaré, emprego temporário para jovens pesquisadores no Instituto Henri Poincaré de Paris.
Esse problema proposto por Poincaré era um dos mais sofisticados problemas da topologia (um campo matemático que permitiu Einstein desenvolver sua Teoria da Relatividade) e ficou conhecido como o problema da laranja na quarta dimensão:
Prove que no cabinho da laranja – ou o Pólo Norte da Terra – pode ser ligado a qualquer ponto da superfície da fruta (ou da Terra) por um meridiano. Agora demonstre que, além disso, todos esses meridianos se cruzam apenas em um único outro ponto: o Pólo Sul.
Antes da proposição do problema já haviam soluções nas dimensões 2 e 3, mas quando partíamos para as dimensões superiores (onde estão os reais objetos de estudo da topologia) existia um problema peculiar: a conjectura estava demonstrada para qualquer dimensão n, exceto 4.
Até que Grigori Perelman oferecesse uma solução correta para o problema, houve outras propostas que se mostraram erradas.
A Hipótese de Riemann : O Problema Quase-Resolvido
A Hipótese de Riemann envolve um objeto matemático comum aos anos básicos de ensino: os números primos, aqueles que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos.
A sequência de números primos $$ \{2,3,5,7,11,13,17,19,23…\}$$ sempre intrigou os matemáticos, pois parece não haver uma lógica capaz de determinar o primeiro número primo após um algarismo específico.
Dizer se um número é primo é um problema desde a Grécia antiga e o método mais conhecido para resolve-lo é o chamado Crivo de Eratóstenes, criado em 240 a. C.
Porém, quanto maior o número primo, mais inviável computacionalmente se torna esse método antigo.
Se alguém conseguisse estabelecer uma fórmula que dissesse quantos números primos existem até determinado algarismo iria revolucionar a criptografia, impactando desde a segurança dos sistemas computacionais até mesmo algumas teorias sobre a origem do universo.
O matemático alemão Georg Bernhard Riemann (1826-1866) propôs uma fórmula que descrevia a distribuição dos números primos.
Essa fórmula ficou conhecida como Hipótese de Riemann e já foi testada corretamente para os primeiros um bilhão e quinhentos mil números primos.
Mas como se sabe, no mundo da matemática é preciso uma demonstração rigorosa para que essa hipótese seja comprovada para todos os números primos.
O comportamento caótico dos números primos chegou a ser associado com sistemas físicos regidos pela teoria do caos, sendo essa uma das inúmeras tentativas de provar a Hipótese de Riemann.
Em agosto de 2002, três pesquisadores indianos do Instituto de Kanpur conseguiram um resultado que pode ajudar na solução deste problema: eles descobriram um método simples e direto para dizer se um número é primo, sem dizer quais são os divisores caso o número não seja primo.
Um método que gerou um programa ainda mais simples de computador, escrito na época com apenas treze linhas de código.
Adiantando no tempo para 2018, vemos Michael Atiyah anunciando ter conseguido encontrar a fórmula que prevê o seguinte número primo dentro de uma série de algarismos.
A Hipótese de Riemann parece ser o próximo problema da fila a ser solucionado.
As Equações de Navier-Stokes: O Santo Graal da Mecânica dos Fluidos
As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o comportamento de objetos no meio de escoamento de fluidos e são conhecidas desde o século XIX.
Costuma-se dizer que a solução geral das equações de Navier-Stokes com turbulências é o “último problema não resolvido da física matemática clássica”.
Como pode ser visto, as equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não lineares de segunda ordem e suas soluções foram encontradas em uma variedade de problemas interessantes de fluxo viscoso.
Eles podem ser usados para modelar o clima, as correntes oceânicas, o fluxo de ar em torno de um aerofólio e o fluxo de água em um tubo ou em um reator.
As equações de Navier-Stokes, em suas formas completas e simplificadas, ajudam no design de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no design de reatores nucleares e em muitas outras coisas.
Foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases.
As Equações de Navier-Stokes vão permitir, assim que solucionadas, determinar o comportamento de qualquer fluído e ajudar a evitar acidentes diversos, bem como permitir inovações tenológicas no setor do transporte aeroespacial.
O problema não está em achar as resposta, mas em saber se essas equações sempre têm alguma resposta que possa ser interpretada de modo razoável na realidade física e se as respostas que conhecemos são únicas.
Hoje em dia usa-se artifícios de aproximação numérica ou até mesmo técnicas de algoritmos genéticos para buscar soluções de problemas específicos com uma margem de erro aceitável, pois ainda não foi provado que em três dimensões sempre existem soluções destas equações ou que, se existem, são suaves.
O último matemático a se dedicar na busca dessa solução foi Mukhtarbay Otelbaev, um matemático do Cazaquistão que estudou na Universidade de Moscou e trabalha com equações diferenciais parciais e análise funcional.
Sua solução analítica para as equações de Navier-Stokes foi apresentada em 2013, mas o juri detectou um erro na sua resposta.
O Problema P=NP: As computações impraticáveis!
Esse é um dos problemas ampliados junto com a evolução da ciência da computação e que nem mesmo os supercomputadores conseguem resolver.
A problemática aqui é a seguinte: dada uma resposta, é possível verificar se ela é falsa ou verdadeira, mas encontrar a resposta a partir do zero torna-se computacionalmente inexequível.
O problema mais conhecido que envolve essa lógica é o das Pontes de Königsberg, resolvido por Leonhard Euler em 1736, cuja solução negativa originou a teoria dos grafos.
Dele derivou-se o problema do caixeiro-viajante:
Se você tem um mapa de cidades com as estradas que fazem a ligação entre elas, será possível achar um caminho que passe em cada cidade apenas uma vez e volte à cidade inicial?
O problema das Pontes de Königsberg traz esse mesmo desafio para sete pontos, mas agora imagine que você precisa de uma solução que funcione para todos os mapas, independente da quantidade de pontos.
É um problema gigantesco a ser considerado e a classe desses problemas impraticáveis é denominada problemas polinomiais não-determinísticos ou simplesmente pela sigla NP.
Esse tipo de problema rege a solução genérica para todos os jogos tipo “caça-mina” presente no software Windows, por exemplo.
O mais intrigante é que se for encontrado um método simples de resolver um problema NP, ele poderá ser aplicado a todos e assim seria provada a fórmula NP=P.
Hoje a ciência lida com milhares de problemas com essa natureza e resolve-los significaria um salto gigantesco na ciência moderna.
A Conjectura de Hodge: A nova fusão dos campos da matemática.
Em 1950, no Congresso Internacional de Matemática, o americano William Vallance Hodge sugeriu que as equações capazes de descrever determinados formatos cíclicos em várias dimensões poderiam ser geradas a partir de formas geométricas mais simples, similares a curvas.
A matemática da conjectura de Hodges é tão avançada que é impossível explicá-la de forma simplificada.
Entretanto, de forma sucinta, a conjectura propõe que certos grupos de co-homologia de Rham são algébricos, isto é, são somas de dualidades de Poincaré de classes homólogas de subvariedades. Seja lá o que isso possa significar.
Se provada, a conjectura de Hodge irá fundir diversos campos da matemática, provocando uma revolução tão grande quanto a proposta de René Descartes ao criar a geometria analítica.
Teoria de Yang-Mills: A matemática como alicerce da física quântica
Se a matemática avançada já gerava problemas suficientes sozinha, agora vamos aplicá-la à física quântica.
A física quântica é um campo da ciência que tenta explicar aquilo que a física newtoniana não consegue, tratando do mundo infinitamente pequeno do universo.
Nesse campo, estuda-se as partículas elementares de matéria e de antimatéria, o átomo e sua estrutura, a constituição e propriedades da matéria ordinária em suas diversas formas, a origem e a evolução do universo
Pois bem, a física precisa de modelos matemáticos para desenvolver suas teorias e com a física quântica não foi diferente, sendo que os precursores na “matemática da física quântica” foram Hilbert e Riemann.
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Eles desenvolveram ideias matemáticas que sustentaram a teoria inicial da física quântica.
A teoria de Yang-Mills é uma daquelas que ainda precisam de uma estrutura matemática para ser devidamente estudada.
Trata-se das equações que lidam com um tipo de força presente no núcleo dos átomos chamada de força nuclear forte.
Se alguém conseguir primeiro entender essa ideia física e, em seguida, criar uma teoria para sustentá-la teremos resolvidos um dos grandes dilemas da física quântica e com isso dar um grande passo científico.
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer: O contra-ataque do Teorema de Fermat.
Esse problema talvez seja um dos próximos da fila a ser solucionado.
O candidato a oferecer uma solução para a conjectura de Birch e Swnnerton-Dyer é o matemático espanhol Francesc Castellà.
Tão difícil quanto resolver esse problema é explicá-lo de uma forma simples.
O matemático Víctor Rotger escreveu um artigo para explicar o problema com uma linguagem simples, e gastou 50 páginas.
Mas vamos tentar.
A conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer trata-se de um problema proposto em 1965 por dois matemáticos britânicos, Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer.
De certa forma, essa conjectura é uma irmã daquele Teorema de Fermat que levou mais de trezentos anos para ser demonstrado.
Vamos partir dele para tentar explicar a conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer.
O Último Teorema de Fermat diz que um número elevado ao quadrado pode ser igual à soma de dois quadrados, mas nenhum número ao cubo é a soma de dois cubos, nenhum número à quarta é a soma de dois números à quarta e assim por diante.
Na segunda metade do século XX foi provado que não existe um método para saber quando as equações semelhantes às do Ultimo Teorema de Fermat têm ou não solução, que aliás era um dos problemas propostos por Hilbert em 1900.
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é um dos casos especiais onde poderia se afirmar alguma coisa sobre essa classe de equações.
A ideia é obter uma forma de “averiguar se equações que definem curvas elípticas têm um número finito ou infinito de soluções racionais“
Até agora, vários matemáticos conseguiram explicar casos concretos da conjectura, mas nunca foi possível obter uma solução geral.
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