Análise Combinatória | Resumo de Fórmulas e Exercícios Resolvidos

Como usar as fórmulas da Análise Combinatória?

Essa é uma pergunta que incomoda estudantes que já tiveram contato com essa parte da matemática no ensino médio e até mesmo quando ela aparece nos primeiros anos da graduação.

Análise Combinatória é a parte da matemática que consiste em estudar as técnicas de contagem, onde, se estudam tópicos como

• Princípio fundamental da contagem
• Fatorial de um número natural
• Arranjo
• Permutação (Anagrama)
• Combinação
• Fatorial

Resumo das Fórmulas de Análise Combinatória

Fatorial

$$ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1$$

Arranjo

$$A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}$$

Permutação

$$P_n = A_{n,n} = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n!$$

Permutação Com Repetições

$$P_n^{a,b,c…} = \frac{n!}{a!b!c!…}$$

Combinação

$$C_{n,p} = \frac{n!}{p! (n-p)!} $$

O uso das fórmulas segue o seguinte mapa mental

Exercícios Resolvidos de Análise Combinatória

01. Dispondo de 10 produtos {A, B, C, . . ., J} para montagem de cestas básicas, o número de cestas que podem ser montadas com 6 produtos distintos, de modo que o produto H nunca seja incluído, é:

A) 210
B) 84
C) 126
D) 72
Resposta: letra B

02. Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de maneiras distintas como as seis pessoas podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos é:

A) 720
B) 600
C) 480
D) 240
Resposta: letra C

03. Com as letras da palavra VAPOR podem ser escritos m anagramas que começam e terminam por vogal e n anagramas que terminam por consoante. O valor de m — n é:

A) 36
B) 44
C) 28
D) 60
Resposta: letra D

04. Uma empresa dispõe de 9 funcionários para formar seu corpo administrativo que é composto de 6 pessoas. Se somente 4 dessas pessoas são formadas em administração de empresas, o número de maneiras distintas de se formar esse corpo com 2 administradores formados é:
A) 30
B) 60
C) 720
D) 1440
Resposta: letra A

05. Se (x – 4)! + (x – 3)! = (x – 2)!, então:

A) x = 0
B) x = 2
C) x = 4
D) x = 8
Resposta: letra C

06. Dez alunos devem ser distribuídos em 2 classes de 6 e 4 lugares cada. O número de maneiras distintas que pode ser feita essa distribuição é:

A) 120
B) 98
C) 210
D) 35
Resposta: letra C

07. Determine todos os valores de x que verificam a igualdade .
Resposta: x = 5

08. Quantos números naturais compreendidos entre 200 e 1.000, formados com algarismos diferentes, podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?
Resposta: 180.

09. Considere todos os anagramas distintos que podem ser obtidos a partir da palavra LUGARES. Quantos deles NÃO têm as vogais juntas?
Resposta: 4320.

10. Um piano de brinquedo possui sete teclas que emitem sons distintos entre si, correspondentes às sete notas musicais da pauta. Se forem pressionadas, ao mesmo tempo, no mínimo quatro e no máximo sete teclas, qual o total de sons diferentes que se podem obter?
Resposta: 64.

11. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados todos os números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, existe uma quantidade n de números que são divisíveis por 5. O número n vale:

a. 20
b. 30
c. 60
d. 40
Resposta: Letra C

12. Uma empresa tem 3 diretores e 4 gerentes. O número de comissões de 4 pessoas que podem ser formadas contendo no mínimo um diretor, é

a. 24
b. 34
c. 44
d. 54
Resposta: Letra B

13. O número de anagramas da palavra SOMAR nos quais as letras da palavra MAR apareçam juntas é

a. 48
b. 24
c. 12
d. 36
Resposta: Letra D

14. O número de triângulos que podem ser formados unindo-se 7 pontos distintos marcados em uma circunferência é igual a:

a. 30
b. 35
c. 25
d. 20
Resposta: Letra B

15. Simplificando a expressão (5! + 7!)/4! encontramos

a. 3
b. 63
c. 215
d. 315
Resposta: Letra C

16. Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 com números negativos. De quantos modos podemos escolher 4 etiquetas diferentes tal que o produto dos números nelas marcados seja positivo?

A) 255
B) 60
C) 450
D) 924
Resposta: letra A

17. O número total de anagramas distintos da palavra BRASIL, que começam e terminam por vogal, é:

A) 24
B) 48
C) 64
D) 96
Resposta: letra B

18. Quantos números diferentes podem ser formados permutando os algarismos do número 3235?

A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
Resposta: letra A

19. Uma pessoa dispõe apenas de 4 lugares para colocar 7 livros diferentes. O número de arrumações distintas possíveis é:

A) 120
B) 360
C) 840
D) 1024
Resposta: letra c

20. CALCULE o número de anagramas que podem ser formados a partir da palavra FUVEST que começam por vogal e terminam por consoante.
Resposta: 2 ___ ___ ___ ___ 4, logo 2 x 4 x P₄ = 2 x 4 x 24 = 192.

21. Em uma festa compareceram 12 alunos e 3 professores. Foram tiradas fotos de forma que em cada uma figurassem 5 pessoas, cada vez usando grupos distintos de pessoas. CALCULE o número total de fotos que aparecem pelo menos 4 alunos.
Resposta: 2.277

22. O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos, é:

A) 250
B) 321
C) 504
D) 576
Resposta: letra D

23. Um grupo formado por quatro rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte. Um dos rapazes é perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. O número de modos pelos quais eles podem entrar no recinto é:

A) 120
B) 60
C) 48
D) 24
Resposta: letra B

24. Numa determinada região de um certo país, todo radioamador possui um prefixo formado por 5 símbolos assim dispostos: um par de letras, um número diferente de zero e outro par de letras; por exemplo: PT – 5 – HG. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par de letras só pode ser constituído usando as letras do conjunto { A, B, C, D, E, F, G, H, I, J }, NÃO sendo permitida a repetição de letras. Sendo assim, CALCULE o número total de prefixos que podem ser disponibilizados nessa região.
Resposta: 2.430

25. Um professor propôs, para uma de suas turmas do 2o ano do ensino médio, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria responder exatamente 5 questões. Se não houve duas escolhas iguais, das cinco questões, entre todos os alunos da turma, CALCULE o número máximo de alunos que essa turma pode ter.
Resposta: 21

26. Considere todos os algarismos do 0 ao 9. RESPONDA: quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podem ser formados contendo o algarismo 3 na unidade de milhar?
Resposta: 224

27. Um Banco de Sangue catalogou 50 doadores, assim distribuídos: 19 com sangue tipo O, 23 com fator Rh negativo e 11 com tipo diferente de O e Rh positivo. De quantos modos diferentes pode-se selecionar 3(três) doadores desse grupo que tenham sangue de tipo diferente de O, mas com fator Rh negativo?
Resposta: 1.140

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