Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: O Princípio da Superposição

Nesse artigo queremos apresentar o princípio da superposição para as equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª Ordem.

 Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma $$ \frac{d^2y}{dt^2}=f\left(t,y,\frac{dy}{dt} \right),$$ onde f é uma função dada. Em geral, denotaremos a variável independente por t.

Uma EDO de segunda ordem é dita linear se $$f\left(t,y,\frac{dy}{dt} \right) = g(t) -p(t)\frac{dy}{dt}-q(t) y,$$ isto é, se f é linear em y e y'.

Em geral, este tipo de equação será denotada por y'' + p(t) y'+q(t) y = g(t). Com frequência encontramos a equação y'' + p(t) y'+q(t) y = g(t) escrita como P(t)y'' + Q(t) y'+ R(t) y = G(t). Neste caso, basta dividirmos a equação toda por P(t). Isto é possível, pois P(t) \neq 0, caso contrário, a EDO não seria de segunda ordem.

O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

Considere a equação y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t) + f_2 (t)  onde f_1 (t) e f_2(t) são funções dadas, definidas e contínuas num mesmo intervalo.

Se y_1(t)for uma solução particular de y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t)  e y_2(t) for uma solução particular de y''+b(t)y'+c(t)y = f_2 (t) , então y_P(t) = y_1(t)+y_2(t)  será uma solução particular de y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t) + f_2 (t).

Essa afirmação é conhecida como Princípio da Superposição.

EXEMPLO 1:  Vamos resolver a equação y'' + 4y = e^{t} + \text{sen}{2t}

• Equação Homogênea Associada: y'' +4y = 0, que possui equação característica dada por r^2 +4 = 0, que possui raízes dadas por \lambda _{1,2} = \pm 2 i Assim, encontramos uma solução y_H (t) = c_1 \text{sen}{(2t)} + c_2 \cos{(2t)}
• Solução Particular: Para encontrar as soluções particulares usamos o Método dos Coeficientes Indeterminados, seguindo a mesma lógica dos exemplos apresentados neste artigo.Uma solução particular de y'' + 4y = e^{t} deve ser da forma y_{P1} (t) = me^{t}. Substituindo na EDO e determinando o coeficiente m obtemos: y_{P1} (t) = \dfrac{1}{5} e^{t}.Uma solução particular de y'' + 4y = \sin{2t} deve ser da forma y_{P2} = m t\cos{2 t}+nt\sin{2 t}. Substituindo na EDO e determinando os coeficientes m e n obtemos: y_{P2} (t) = -\dfrac{1}{4} t\cos{2t}. Portanto, y_P (t) = \dfrac{1}{5} e^{t} - \dfrac{1}{4} t\cos{2t}
• Solução Geral: y(t) = y_H (t) + y_P (t)= c_1 \cos{2t}+ c_2\sin{2t} + \dfrac{1}{5} e^{t} - \dfrac{1}{4} t\cos{2t}

EXEMPLO 2:  Vamos resolver a equação y'' - 2y' -3y = 4x - 5 + 6x e^{2x}

Primeiramente, a solução para a equação homogênea associada y'' - 2y' - 3y = 0 é y_h (x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} , pois a equação homogênea associada m^2 - 2m -3 = 0 tem duas raízes reais e distintas dadas por m_1 = -1 e m_2 = 3 .

Usando o princípio da superposição podemos encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea dada por $$y_p(x) = y_{p_1}(x) + y_{p_2}(x) $$ onde y_{p_1}(x) é uma função polinomial na forma $$y_{p_1}(x) = Ax + B$$ e y_{p_2}(x) é uma função na forma $$y_{p_2}(x) = Cxe^{2x} + De^{2x}.$$

É importante ressalta que y_{p_2}(x) tem esta forma, pois a derivada de x e^{2x} produz termos iguais a x e^{2x} e e^{2x} . Logo, é natural supor que a solução particular neste caso também possua estes dois termos.

Desta forma, podemos escrever $$y_p(x) = y_{p_1}(x) + y_{p_2}(x) = Ax + B +  Cxe^{2x} + De^{2x}.$$

Substituindo esta solução particular na EDO não-homogênea temos $$y_p” – 2y_p’ – 3y_p =-3Ax-2A-3B-3Cxe^{2x}+(2C-3D) e^{2x} = 4x-5+6xe^{2x}$$ que nos leva a um sistema de quatro equações e quatro incógnitas$$-3A = 4$$ $$-2A-3B = -5$$ $$-3C = 6$$ $$-2C-3D = 0.$$

Resolvendo este sistema encontramos A = - \dfrac{4}{3} ,  B =  \dfrac{23}{9} , C = - 2 e D = - \dfrac{4}{3} .

Portanto, $$y_p(x) = – \frac{4}{3}x + \frac{23}{9} – 2xe^{2x}  – \frac{4}{3}e^{2x},$$ o que nos leva a $$ y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} – \frac{4}{3}x + \frac{23}{9} – 2xe^{2x}  – \frac{4}{3}e^{2x}.$$

EXEMPLO 3:  Vamos resolver a equação y'' + y = tg(t) + 3t -1

Neste caso, temos como solução da equação homogênea associada $$y_h(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) $$, o que nos leva a uma C.F.S. dado por \{ cos(t) , sen(t) \} onde W( cos(t) , sen(t) ) = 1 .

Iremos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p_1} (t) da equação $$y” + y = tg(t)$$ e posteriormente usaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p_2} (t) da equação $$ y” + y =  3t -1 .$$ Por fim, usaremos o princípio da superposição para encontrar $$ y_p (t) = y_{p_1} (t) + y_{p_2} (t) $$

Então, primeiramente, vamos utilizar o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular de equação y'' + y = tg{(t)}.

y_{p_1}(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{\sin{t}. \tan{t}}{1}}dt + \sin{t} \int{\dfrac{\cos{t}. \tan{t}}{1}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{\sin^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{1 - \cos^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt

y_{p_1}(t) = \cos{t} \left( \sin{t} - \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} \right) - \sin{t}\cos{t}

y_{p_1}(t) = - \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |}

Agora, usando o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontra a solução particular  y_{p_2} (t) = At +B e substituindo na EDO y'' + y =  3t -1 encontrando $$ y_{p_2}” + y_{p_2} = At +B = 3t -1 \Leftrightarrow A=3; B=-1$$ Portanto, $$y(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) – \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} + 3t -1 .$$

Confira nossa vídeo-aula sobre o Princípio da Superposição:

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