Princípio da Superposição para EDO’s de 2ª Ordem | Exercícios Resolvidos

O Princípio da Superposição para Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem Lineares nos diz, em suma, que uma solução particular da equação y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t) + f_2 (t)+...+ f_n (t) pode ser encontrada à partir da combinação linear da solução particular de cada uma das equações y''+b(t)y'+c(t)y = f_i (t), com i = 1,..., n .

Mais especificamente, considere a equação y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t) + f_2 (t)  onde f_1 (t) e f_2(t) são funções dadas, definidas e contínuas num mesmo intervalo. Se y_1(t)for uma solução particular de y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t)  e y_2(t) for uma solução particular de y''+b(t)y'+c(t)y = f_2 (t) , então y_P(t) = y_1(t)+y_2(t)  será uma solução particular de y''+b(t)y'+c(t)y = f_1 (t) + f_2 (t).

Abaixo, trazemos uma lista de exercícios resolvidos utilizando o Princípio da Superposição.

Princípio da Superposição para EDO’s de 2ª Ordem | Lista de Exercícios Resolvidos

1) y'' + 2y' +2y = 5 e^{-t} sen(t) + 5t^3e^{-t} cos(t) ;

SOLUÇÃO: 

A equação homogênea associada é dada por y'' + 2y' +2y =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{t} = c_1 e{-t}+ c_2 t e{-t}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(t) = t (A t^3+ B t^2 + C t +D) e^{-t} cos(t) + t (E t^3+ F t^2 + G t +H) e^{-t} sen(t) e substituindo na EDO encontramos: $$A = C = H = F = 0; B = 5/4; D = -35/8; E = 5/8; G = -15/8 . $$ Logo y_{p}(t) = e^{-t} t cos(t) \left(5/4 t^2 -35/8 \right) + e^{-t} t sen(t) \left(5/8 t^3 - 15/8 t \right) . Portanto, $$ y(t) = c_1 e{-t}+ c_2 t e{-t} + e^{-t} t cos(t) \left(5/4 t^2 -35/8 \right) + e^{-t} t sen(t) \left(5/8 t^3 – 15/8 t \right) .$$

2) y'' + y = tg(t) + 3t -1

SOLUÇÃO: Neste caso, temos como solução da equação homogênea associada $$y_h(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) $$, o que nos leva a uma C.F.S. dado por \{ cos(t) , sen(t) \} onde W( cos(t) , sen(t) ) = 1 .

Iremos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p_1} (t) da equação $$y” + y = tg(t)$$ e posteriormente usaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p_2} (t) da equação $$ y” + y =  3t -1 .$$ Por fim, usaremos o princípio da superposição para encontrar $$ y_p (t) = y_{p_1} (t) + y_{p_2} (t) $$

Então, primeiramente, vamos utilizar o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular de equação y'' + y = tg{(t)}.

y_{p_1}(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{\sin{t}. \tan{t}}{1}}dt + \sin{t} \int{\dfrac{\cos{t}. \tan{t}}{1}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{\sin^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt

y_{p_1}(t) = -\cos{t} \int{\dfrac{1 - \cos^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt

y_{p_1}(t) = \cos{t} \left( \sin{t} - \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} \right) - \sin{t}\cos{t}

y_{p_1}(t) = - \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |}

Agora, usando o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontra a solução particular  y_{p_2} (t) = At +B e substituindo na EDO y'' + y =  3t -1 encontrando $$ y_{p_2}” + y_{p_2} = At +B = 3t -1 \Leftrightarrow A=3; B=-1$$ Portanto, $$y(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) – \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} + 3t -1 .$$

3) y'' - 2y' -3y = 4x - 5 + 6x e^{2x}

SOLUÇÃO: Primeiramente, a solução para a equação homogênea associada y'' - 2y' - 3y = 0 é $$ y_h (x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} [/katex], pois a equação homogênea associada m^2 - 2m -3 = 0 tem duas raízes reais e distintas dadas por m_1 = -1 e m_2 = 3 .

Usando o princípio da superposição podemos encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea dada por $$y_p(x) = y_{p_1}(x) + y_{p_2}(x) $$ onde y_{p_1}(x) é uma função polinomial na forma $$y_{p_1}(x) = Ax + B$$ e y_{p_2}(x) é uma função na forma $$y_{p_2}(x) = Cxe^{2x} + De^{2x}.$$

É importante ressalta que y_{p_2}(x) tem esta forma, pois a derivada de x e^{2x} produz termos iguais a x e^{2x} e e^{2x} . Logo, é natural supor que a solução particular neste caso também possua estes dois termos.

Desta forma, podemos escrever $$y_p(x) = y_{p_1}(x) + y_{p_2}(x) = Ax + B +  Cxe^{2x} + De^{2x}.$$

Substituindo esta solução particular na EDO não-homogênea temos $$y_p” – 2y_p’ – 3y_p =-3Ax-2A-3B-3Cxe^{2x}+(2C-3D) e^{2x} = 4x-5+6xe^{2x}$$ que nos leva a um sistema de quatro equações e quatro incógnitas$$-3A = 4$$ $$-2A-3B = -5$$ $$-3C = 6$$ $$-2C-3D = 0.$$

Resolvendo este sistema encontramos A = - \dfrac{4}{3} ,  B =  \dfrac{23}{9} , C = - 2 e D = - \dfrac{4}{3} .

Portanto, $$y_p(x) = – \frac{4}{3}x + \frac{23}{9} – 2xe^{2x}  – \frac{4}{3}e^{2x},$$ o que nos leva a $$ y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} – \frac{4}{3}x + \frac{23}{9} – 2xe^{2x}  – \frac{4}{3}e^{2x}.$$

4) y''+y = t +tsen(t)

SOLUÇÃO: Nesse caso, precisamos encontrar uma solução na forma $$y_p (t) = (at+b)tsen(t) + (ct+d)t cos(t) = (at^2 + bt) sen(t) + (ct^2 + dt) cos(t),$$ pois sen(t) aparece na solução da EDO homogênea. Derivando duas vezes e substituindo na EDO, obtemos $$ [-2at^2 + (-4c -2b)t – 2d +2a] sen(t) + (4at +2c+2b) cos(t) = t sen(t) $$ Logo, encontramos o sistema $$-2a = 0 $$ $$-4c -2b = 1$$ $$-2d+2a = 0 $$ $$4a = 0$$ $$2c +2b = 0 $$ onde encontramos a=d=0, b = 1/2   e c = - 1/2 , o que nos leva a $$y_p (t) = \frac{1}{2} t sen(t) – \frac{1}{2} t^2 cos(t).$$ Portanto, $$y(t) =  c_1 cos(t) + c_2 sen (t) + \frac{1}{2} t sen(t) – \frac{1}{2} t^2 cos(t).$$

5) y'' + 4y = e^{-t} + \sin{2t}

Facilmente podemos ver que a solução da equação homogênea associada é $$y_{H}(t) = c_1 cos(2t) + c_2 sen(2t).$$

Como f(t) = e^{-t} + \sin{2t}, então, pelo Princípio da Superposição, teremos duas soluções particulares   y_{p1}(t) = m e^{-t} e   y_{p2}(t) = m t cos(2t) + n t sen(2t) .

Derivando   y_{p1}(t) e   y_{p2}(t) duas vezes, e substituindo na EDO, uma por vez, encontramos:

1. y_{p1}(t) = \dfrac{1}{5} e^{-t}
2. y_{p2}(t) = - \dfrac{1}{4} t cos(2t)

Portanto, $$y(t) = c_1 cos(2t) + c_2 sen(2t) + \frac{1}{5} e^{-t} – \frac{1}{4} t cos(2t).$$

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre EDOs de 2ª Ordem:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t) | Método de Solução

Leia Mais:

• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Equações Homogêneas
  
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Método dos Coeficientes Indeterminados
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: O Princípio da Superposição