Polinômios Complexos | Lista de Exercícios Resolvidos

Nesta lista de exercícios resolvidos trazemos problemas envolvendo os polinômios complexos. Um polinômio complexo é uma função polinomial complexa p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} quando existem números a_0 , a_1, a_2 , ... , a_n tais que $$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$ para todo x \in \mathbb{C} . Os números a_0 , a_1, a_2 , ... , a_n são os coeficientes da função polinomial. Um caso especial é aquele em que os coeficientes deste polinômio são todos números reais.

Polinômios Complexos | Lista de Exercícios Resolvidos

Questão 1: Determine os valores de m   e n para os quais o polinômio p(x) = m x^3 + 2x^2+nx-6  é divisível por x^2 - 4x +3 .

SOLUÇÃO: Dividindo p(x) = m x^3 + 2x^2+nx-6 por x^2 - 4x +3 , obtém-se $$ p(x) = m x^3 + 2x^2+nx-6 = (x^2 – 4x +3)(mx+4m+2)+(n+13m+8)x-12m-12, $$ sendo (n+13m+8)x-12m-12 o resto desta divisão.

Logo, sabemos que o polinômio p(x) = m x^3 + 2x^2+nx-6  é divisível por x^2 - 4x +3 se, e somente se, este resto é igual a zero, ou seja, $$ (n+13m+8)x-12m-12 = 0,$$ o que é equivalente ao sistema $$ n+13m+8 = 0$$ $$12m -12 = 0$$ que tem solução dada $$m=-1 \qquad n = 5 .$$

Questão 2: Os restos da divisão de um polinômio p(x)   por (x-2) e (x+3) são, respectivamente, 2 e 7. Determine o resto da divisão de p(x) por (x-2)(x+3) .

SOLUÇÃO: Pela divisão euclidiana, existem polinômios p(x)  e r(x) , unicamente determinados, tais que p(x) = q(x)(x-2)(x+3) , sendo que r(x) =0 ou o grau de r(x) é menor do que o grau de (x-2)(x+3) .

Como o grau de (x-2)(x+3) é igual a 2, então r(x) = ax+b , sendo a e b constantes, e, portanto, $$ p(x) = q(x)(x-2)(x+3) +ax+b$$. Fazendo x=2 em p(x) = q(x)(x-2)(x+3) +ax+b, obtém-se 2a+b = p(2) . Como o resto da divisão de p(x) por (x-2) é igual a p(2x) e, pelo enunciado, tal resto é igual a 2, então 2a+b = 2 .

Fazendo x=-3 em p(x) = q(x)(x-2)(x+3)+ax+b , obtém-se -3a+b = p(-3) . Como o resto da divisão de p(x) por (x+3) é igual a p(-3) = 7 , então -3a + b = 7 . Resolvendo o sistema, obtém-se a = -1 e b = 4 . Assim, o resto da divisão de p(x) por (x-2)(x+3) é igual r(x) = -x+4.

Questão 3: Encontre a,b,c,d de tal forma que x^3+3x^2-4x-12 = a(x-1)^3+b(x-1)^2 +c(x-1) +d. Em outras palavras, escreva o polinômio x^3+3x^2-4x-12 segundo as potências de (x-1) .

SOLUÇÃO: Dividindo x^3+3x^2-4x-12 sucessivamente por (x-1) , obtemos $$ x^3+3x^2-4x-12 = (x-1)(x^2+4x) -12,$$ $$ x^2 +4x = (x-1)(x+5) +5,$$ $$x+5 = (x-1)+6 .$$ Logo, $$ x^3+3x^2-4x-12 = (x-1)^3+6(x-1)^2 +5(x-1) -12 .$$

Questão 4: Obtenha os valores das constantes A, B e C tais que $$ \frac{10x-4}{(x^3-4x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2} $$ para todo x tal que x \neq 0 , x \neq 2  e x \neq -2 .

SOLUÇÃO: Observe que esta igualdade faz sentido para todo x tal que x \neq 0 , x \neq 2  e x \neq -2 . Primeiro, escreva $$ \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2} = \frac{A(x-2)(x+2)+Bx(x+2) +Cx(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = $$ $$ = \frac{(A+B+C)x^2 +(2B-2C)x -4A}{x^3 – 4x} .$$

Para que ambas frações sejam iguais, os numeradores devem ser iguais, isto é $$ 10x-4 = (A+B+C)x^2 +(2B-2C)x -4A$$ para todo x  tal que x \neq 0 , x \neq 2  e x \neq -2 . Por sua vez, os dois polinômios serão iguais quando os coeficientes respectivos sejam iguais. Isto é: $$A+B+C = 0; \qquad 2B-2C = 10; \qquad -4A = -4.$$

A solução deste sistema é $$A=1; \qquad B = 2; \qquad C = -3 .$$ Logo $$ \frac{10x-4}{(x^3-4x)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x-2} – \frac{3}{x+2} .$$

Questão 5: Ache o máximo comum divisor dos polinômios p(x) = x^3-20x+25 e q(x) = x^3 +x^2-25x+30 . Utilize este resultado para achar todas as raízes de p(x) e q(x) .

SOLUÇÃO: Basta realizar divisões sucessivas até que o último resto seja 0 . O resto anterior não nulo é  o mdc dos polinômios. Dividindo, obtemos: $$ x^3 +x^2-25x+30 = (x^3-20x+25) + (x^2-5x+5)$$ $$ x^3-20x+25 = (x-5)(x^2-5x+5) +0 $$

O último resto não nulo é (x^2-5x+5) , logo este é o mdc dos polinômios dados. Dividindo p(x) e q(x) pelo mdc, obtemos $$p(x) = (x-5)(x^2 – 5x+5$$ $$q(x) = (x+6)(x^2-5x+5).$$

Resolvendo a equação de segundo grau, vemos que as raízes de p(x) são $$5 \qquad \text{e} \qquad \frac{5 \pm \sqrt{5} }{2} $$ e as raízes de q(x)  são $$-6 \qquad \text{e} \qquad \frac{5 \pm \sqrt{5} }{2} .$$

Questão 6: Seja p(x) um polinômio do terceiro grau que satisfaz as condições: 2 = p(1) = p(2)=p(3) e p(4) = 1 . Qual o valor de p(0) ?

SOLUÇÃO: Seja q(x) = p(x) - 2 , logo teremos que 0 = 2 -2 = q(1) = q(2) = q(3) , assim 1,2,3 são raízes de q(x) . Além disso, como p(x) é um polinômio do terceiro grau, então p(x) também é um polinômio do terceiro grau, portanto, pela fatoração de polinômios complexos, teremos que: $$q(x) = a(x-1)(x-2)(x-3),$$ onde a é uma constante.

Temos também que q(4) = p(4)-2 = 1 -2 = -1 , substituindo isto em q(x) obteremos $$a(4-1)(4-2)(4-3) = -1 \Rightarrow a = – \frac{1}{6}.$$ Assim: $$q(x) = – \frac{1}{6} (x-1)(x-2)(x-3)$$ e portanto: $$p(0) = 2 + q(0) = 2 – \frac{1}{6} (0-1)(0-2)(0-3) = 3.$$

Leia Mais:

• Polinômios Complexos | Funções Analíticas Complexas
• Uma Introdução às Funções de Variáveis Complexas
• Variáveis Complexas | Diferenciabilidade e Funções Analíticas
• A Função Exponencial Complexa | Funções Analíticas Complexas

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

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